Mysql５の表結合の質問です。

こんな感じでしょうか。

SELECT * FROM cat_tbl WHERE cat_id IN (
  SELECT cat_id FROM subcat_tbl WHERE sub_id IN (
    SELECT sub_id FROM per_to_sub WHERE per_id IN (
      SELECT per_id FROM person_tbl
    )
  )
);

検証していないのですが、こちらの SQL で希望の結果が得られると思います。

SELECT DICTINCT cat.*
FROM person_tbl per
  JOIN per_to_sub persub ON per.per_id = persub.per_id
  JOIN subcat_tbl subcat ON persub.sub_id = subcat.sub_id
  JOIN cat_tbl cat ON cat.cat_id = subcat.cat_id

こちらでいかがでしょうか？

SELECT DISTINCT cat_tbl.cat_id, cat_tbl.cat_name
FROM ((cat_tbl 
        INNER JOIN subcat_tbl 
        ON cat_tbl.cat_id = subcat_tbl.cat_id) 
        INNER JOIN per_to_sub 
        ON subcat_tbl.sub_id = per_to_sub.sub_id) 
        INNER JOIN person_tbl 
        ON per_to_sub.per_id = person_tbl.per_id;

person_tbl の各レコードに合わせて

他のテーブルからデータを引っ張ってくるのであれば下記のような感じですが

person_tbl に sub_id を含むべきですし

subcat_tbl に cat_name を含んでしまえば

テーブルは２つで済むのですから、後々楽になると思いますよ。

（１）using

SELECT T1.per_id, T4.cat_name
FROM person_tbl AS T1
LEFT JOIN per_to_sub AS T2 USING(per_id)
LEFT JOIN subcat_tbl AS T3 USING(sub_id)
LEFT JOIN cat_tbl AS T4 USING(cat_id);

（２）on

SELECT T1.per_id, T4.cat_name
FROM person_tbl AS T1
LEFT JOIN per_to_sub AS T2 ON T2.per_id = T1.per_id
LEFT JOIN subcat_tbl AS T3 ON T3.sub_id = T2.sub_id
LEFT JOIN cat_tbl AS T4 ON T4.cat_id = T3.cat_id;

（３）where

SELECT T1.per_id, T4.cat_name
FROM person_tbl AS T1
JOIN per_to_sub AS T2
JOIN subcat_tbl AS T3
JOIN cat_tbl AS T4
WHERE (T2.per_id = T1.per_id) AND (T3.sub_id = T2.sub_id) AND (T4.cat_id = T3.cat_id);

MySQL :: MySQL 5.1 リファレンスマニュアル :: 12.2.7.1 JOIN 構文

データ量がすくなければ上記いずれも体感できるほどの差はないと思います。

データが増えてくれば３が高速、１が低速になる傾向があったりはしますが

それも環境によるので、EXPLAINで MySQLのオプティマイザが

どのような実行プランを出してくるかを判定してから適宜チョイスする必要性が出てきます。

MySQL :: MySQL 5.1 リファレンスマニュアル :: 6.2.1 EXPLAINを使用して、クエリを最適化する

とりあえずは、いろいろな結合方法があることを順に覚えていってください。

※いきなり書いているので動作確認はしていません。内容を確認しながら使ってください。