緯度経度で表される極が球面上にあります（北極南極とは異なる位置）。この極を軸とし、これに直行する小円と球面が交わるところの座標を緯度経度で求める具体的な方法を教えてください。

紹介したサイトにやり方が書いてありますが。。。。
サイトに書いてある方法は緯度、経度から回転した極座標上の新しい緯度、経度を求める方法ですが、題意の場合は符号を逆にすればよいです。
具体的には
φ'：求めたい座標の東経[ラジアン]
λ'：求めたい座標の北緯[ラジアン]
として
φ' = asin(cosΦcosφcos(λ-Λ) + sinΦsinφ)
λ' = atan{ cosφsin(λ-Λ) / [sinΦcosφcos(λ-cosΛ) - cosΦsinφ]} + π(if x' < 0)
但し、
Λ：新しい極の西経度（東経の場合マイナスで）[ラジアン]
Φ：新しい極の南緯度（北緯の場合マイナスで）[ラジアン]
φ：円上の経度（題意の場合は0度から10度づつ、東経方向がプラス）[ラジアン]
λ：円上の緯度（題意の場合は20度づつ、北緯の場合がプラス）[ラジアン]
π：円周率
x' ： sinΦcosφcos(λ-cosΛ) - cosΦsinφ

bmw120iさま

コメント欄での補足、ありがとうございます。エクセルにてやってみたのですがどうもうまくいかないようです。

式の入力を間違えていないか何度か見直したのですが、間違ってはいないようです（もちろん絶対ではありませんが）。エクセルにて計算しているので、ATAN2も試してみましたがだめでした。

ということで、せん越ながら、サイトの式に疑いを抱き始めております。ラムダとファイの使用が一貫していない（経度だったり緯度だったり）ところなど、気になるのですが...。とはいうものの、どこが間違っているかを探すほどの能力はありません。

そこで、もし可能でしたら、元のサイトの式を検証してみていただけないでしょうか。「やってみたけど間違ってないよ」という恥ずかしい結果になる可能性は覚悟しております。

失礼。
自分の但し書きの円上の経度、緯度が誤植で逆になってましたね。
正しくは以下のとおりです。

φ'：求めたい座標の東経[ラジアン]
λ'：求めたい座標の北緯[ラジアン]
として
φ' = asin(cosΦcosφcos(λ-Λ) + sinΦsinφ)
λ' = atan{ cosφsin(λ-Λ) / [sinΦcosφcos(λ-cosΛ) - cosΦsinφ]} + π(if x' < 0)
但し、
Λ：新しい極の西経度（東経の場合マイナスで）[ラジアン]
Φ：新しい極の南緯度（北緯の場合マイナスで）[ラジアン]
λ：円上の経度（題意の場合は0度から10度づつ、東経方向がプラス）[ラジアン]
φ：円上の緯度（題意の場合は20度づつ、北緯の場合がプラス）[ラジアン]
π：円周率
x' ： sinΦcosφcos(λ-cosΛ) - cosΦsinφ

bmw120iさま

さっそくの回答ありがとうございます。

残念ながらまだ明らかに違う解がでてくるのです...。

確認ですが、この計算は、「球体を回転させて北極を（Λ,Φ）の位置に移動させたときに、(λ,φ)の点は(φ',λ')の位置にくる」ということだと理解していますが、間違っていますでしょうか。

もしかして「（Λ,Φ）を北極の位置に移動させたときに、(λ,φ)の点は(φ',λ')の位置にくる」ということでしょうか。だとすると、新しい極とその対極を結ぶ軸に直交する小円の座標を導き出せてはいないような気がするのですが、いかがでしょうか。

別のやりかたを見つけて解決してしまいました。とはいうものの、いただいた回答とコメントが大きなヒントとなりましたので、大いに感謝しております。ありがとうございました。