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(x+y)^3/(x^3+y^3)≦a
x,yが0より大きい範囲でどのような実数値をとっても、
この不等式を満たすような実数aがあります。
aはどのような値(範囲)をとり得ますか?
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簡単かもしれませんが、高校までに習う知識で解けると嬉しいです。
どうぞよろしくお願い致します!
なんとなくaの上限は無限大のような気がしていますが、
下限がどうなるのか興味があります。
x>0かつy>0より
(x + y)^3/(x^3 + y^3) = 1 + 3 / {(y/x) - 1 + (x/y)}
y/x + x/y = (Sqrt[y/x] - Sqrt[x/y])^2 + 2 ≧ 2
第一式が (y/x) + (x/y) ≧ 2 のもとでとりうる値の範囲は(1より大きく)4以下.
以上より a ≧ 4
ただし,(x + y)^3/(x^3 + y^3) = (x + y)^3 / (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)^2 / (x^2 - xy + y^2) = 1 + 3xy / (x^2 - xy + y^2) = 1 + 3 / {(y/x) - 1 + (x/y)}
別の解法としては第一式の左辺をx^3で分子・分母を割って y/x = r の一変数関数としてしみて微分法を用いて左辺のとりうる値の範囲を考えることが考えられます.
いつもありがとうございます。
わかりやすすぎて感動です!