複素数平面での幾何学を勉強してる際、有名な「角の二等分線の定理」で、疑問が生じまして。

【1】どうしていきなり「実数k」なるものが出てきて、「kc」と表す必要があるのでしょうか？

　一般に、3点A(α),B(β),C(γ)とすると、∠BAC＝arg{(γ-α)/(β-α)}

　一般に、3点A(α),B(β),C(γ)が同じ直線上にある⇔(γ－α)/(β－α)が実数(偏角が0°,180°)

∵iSin0°＝iSin180°＝0

　ここで、A(0)は原点だから、題意の回転させた点をｚ(ｚ)として、また、C(ｃ)とおくと、

(z-0)/(c-0)=z/c=k(実数)

∴z=kcと表せる。

【2】「u=(sc+tb)/(s+t)」の図形的意味は、何なのでしょうか？複素数平面上で、どういう動きをするのでしょうか？

　内分点を表しています。

　一般に、2点A(α),B(β)を結ぶ線分ABをm:nの比に分ける点を表す複素数は、(ｎα＋ｍβ)/(ｍ＋ｎ)　ただし、ｍ+ｎ≠0

【3】rは、極形式における絶対値の部分ですか？rがいきなり出てきたのは、何のためでしょうか？

　ｚ＝ｒ(Cosθ+iSinθ)の極形式で表したものだと思われます。全部書くのが面倒だから、ｒ(Cosθ+iSinθ)＝ｒｅ^iθと略記したのでしょう。

【4】すいません、全体的にわからない部分が多いので、この証明について解説いただきたいです・・・(>_<)

　ちょっと、表記法が違う気がします。arg∠cau→arg(u/c)　∵Aは原点

uに(u/c)をかけると∠UAB=∠CAUだから、回転した点は直線AB上にあるから、実数ｋを用いて、

　u^2/c=kb・・・①　←ｂとｃが違うかも。

と表せる。

　u=(sc+tb)/(s+t)にとると、

両辺を2乗して分母を払うと、

(s+t)^2・u^2=(sc+tb)^2・・・②

①から、u^2=kbcだから、これを②に代入して、

(s+t)^2(kbc)=(sc+tb)^2

右辺と左辺を入れ替えて、

(sc+tb)^2=(s+t)^2(kbc)

左辺を展開して、

s^2・c^2＋2st・bc＋t^2・b^2＝(s+t)^2(kbc)

両辺をbcで割って、

s^2・(c/b)＋2st＋t^2・(b/c)=(s+t)^2・k

∴s^2・(c/b)＋t^2・(b/c)=(s+t)^2・k－2st

s､t､kは実数だから、

s^2・(c/b)＋t^2・(b/c)=(s+t)^2・k－2st＝（実数）・・・③

b/c=r(Cosθ＋iSinθ)・・・④とすると、逆数をとって、

c/b=(1/r){Cos(-θ)＋iSin(-θ)}＝(1/r)(Cosθ－iSinθ)

　これらを③の左辺に代入して、

s^2・(1/r)(Cosθ－iSinθ)+t^2・r(Cosθ＋iSinθ)

＝{s^2・(1/r)Cosθ＋t^2・rCosθ}＋i{s^2・(-1/r)Sinθ＋t^2・rSinθ}

よって、③の虚部Iｍ（③の左辺）＝0だから、

　s^2・(-1/r)Sinθ＋t^2・rSinθ＝0

∴Sinθ{(t^2)r-(s^2)/r}=0

∠CAB≠0だから、Sinθ≠0より、

(t^2)r=(s^2)/r

∴(s^2)/(t^2)=r^2=|b/c|^2　←∵④の極形式で、r=|ｚ|でこの場合、ｚ＝b/c

したがって、

s/t＝|b|/|c|

　一般に、Ｐ：Ｑ＝Ｐ/Ｑだから、

∴|b|：|c|＝s：t

※参考URL

●複素数と図形

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch01/node21.html

●テーマ10　.....　複素平面 part２

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/m/thema11a.htm