以前、クラメールの方法で逆行列を解く方法を教えていただいたのですが・・・以下のような、

Question

moon-fondu

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学習・教育

以前、クラメールの方法で逆行列を解く方法を教えていただいたのですが・・・以下のような、

----------------------
次の連立一次方程式をクラメールの方法で解け。

x－y＋z＝－1
3x＋2y－z＝5
2x＋y－3z＝8
----------------------

連立方程式をクラメールの方法で解くには、どうすればよいのでしょうか？
よろしくお願いします(>_<)

回答の条件

1人5回まで

登録：2010/03/23 01:25:36
終了：2010/03/30 00:22:21

※ 有料アンケート・ポイント付き質問機能は2023年2月28日に終了しました。

No.1

imo758121192010/03/23 01:57:30

100pt

$\left{\begin{array}{rrrrr} x & -y & +z & = & -1 \\ 3x & 2y & -z & = & 5 \\ 2x & +y & -3z & = & 8 \end{array}$

は行列を用いて

$\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}-1\\5\\8\end{array}\right)$

とかけるので、左から逆行列をかけて

$\left(\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{rrr}-1\\5\\8\end{array}\right)$

あとは逆行列の計算ですので

http://q.hatena.ne.jp/1267124820

を参考してください。

ありがとうございます！行列にしてから処理するのですね～(＠_＠;)

逆行列の方法は、imo758さんの前回のベストアンサーで思い出すことができました、(－1)^(i＋j)の余因子の知識とか、クラメールの方法を知ってればできるんですよね(^_^;)

（1 -1 1 )^-1

（3 2 -1 )

（2 1 -3 )

　　　　　　　　　　｜2 -1｜　　　｜-1 1｜　　　｜-1 1｜

　　　　　　　　　　 (-1)^2｜1 -3｜(-1)^3｜1 -3｜(-1)^4｜2 -1｜

　　 1　　　　　　　

＝--------------　　 (-1)^3｜3 -1｜(-1)^4｜1 1｜(-1)^5｜1 1｜

　 | 1 -1 1 | 　　　　　｜2 -3｜　　　｜2 -3｜　　　｜3 -1｜

　| 3 2 -1 |

　| 2 1 -3 | 　　 (-1)^4｜3 2｜(-1)^5｜1 -1｜(-1)^6｜1 -1｜

　　　　　　　　　　　　　｜2 1｜　　　｜2 1｜　　　｜3 2｜

転置行列であることを忘れて最初取り去る行とか列を間違えましたが、なんとか・・・

| 1 -1 1 |

| 3 2 -1 |＝－13 (※rsc96074さんから教えていただいたサラスの方法より)

| 2 1 -3 |

(-1)^2｜2 -1｜

　　｜1 -3｜＝－5

(-1)^3｜-1 1｜

　　　｜1 -3｜＝2

(-1)^4｜-1 1｜

　　　｜2 -1｜＝－1

(-1)^3｜3 -1｜

　　　｜2 -3｜＝7

(-1)^4｜1 1｜

　　　｜2 -3｜＝－5

(-1)^5｜1 1｜

　　　｜3 -1｜＝4

(-1)^4｜3 2｜

　　　｜2 1｜＝1

(-1)^5｜1 -1｜

　　　｜2 1｜＝－3

(-1)^6｜1 -1｜

　　　｜3 2｜＝－5

を導くことができました。

つまり、逆行列の値は「(1/－13)・(－123)＝13/123」になるのですね。

　　　　(-1)　(-13/123)

13/123×( 5)＝(65/123)

　　　　( 8)　(104/123)

最終的に、x＝-13/123、y＝65/123、z＝104/123

という結果が出てきたのですが・・・全然違いますよね(ToT)

rsc96074さんのご解答と全く違います・・・

一体どこでミスを犯してしまったのか、もしよろしければ、ご指摘いただけないでしょうか？

よろしくお願いします(>_<)

2010/03/25 00:42:37

No.2

p3323632010/03/23 01:59:36

15pt

数値が違いますが、下記サイトに解放がありました

http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/hakidasihou3.html

ありがとうございます！

rsc96074さんも教えてくださった方法ですね～すごいです！

2010/03/27 10:42:49

No.4

ぽこたん517262010/03/23 02:38:55

10pt

上記の人と同じですが、このようになります。

http://okwave.jp/qa/q5629873.html

基本的には、数字だけを並べて、斜めにかけていきます。

だから、数字を並べて斜めに線を引いてみればいいのです。

斜めに数字が無い場合には、後ろ側から回していった感じですね。

ありがとうございます。

リンク先読みました・・・info22_さんのコメントが、私にもグサリときましたσ(^_^;)

2010/03/27 11:00:17

No.5

klogg4202010/03/24 23:50:53

5pt

定理 4.88 (クラメールの方法) 連立一次方程式に関して，係数行列

(747)

が次正方行列でかつ正則なとき，方程式の解は

(748)

で与えられる．これをクラメールの方法（Cramer's rule）という．

（証明）は正則であるから，方程式に左からを掛けると

(749)

が成り立つ．成分で表すと

(750)

より

(751)

を得る．これは第列の余因子展開だから

(752)

が示された．

注意 4.89 (クラメールの方法) 解をもつためには分母が 0 となってはいけない．である必要がある．すなわちは正則のときクラメールの方法は使用できる．

例 4.90 (クラメールの公式の使用例) 方程式

(753)

を考える．行列式は

(754)

であり，解は

(755)

と求まる．

例 4.91 (クラメールの公式の使用例) 方程式

(756)

の解を求める．

(757)

であり，解は

(758)

(759)

(760)

である．

--------------------------------------------------------------------------------

Next: 16 行列の簡約化と行列式 Up: 4 行列式 Previous: 14 余因子行列と逆行列 Contents

Kondo Koichi

http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2004.linear-algebra-...

リンク先をペーストしてくださったのですね、ありがとうございます(^_^;)

2010/03/27 11:03:38

No.6

klogg4202010/03/25 00:28:50

5pt

Next: 15 クラメールの公式 Up: 4 行列式 Previous: 13 余因子行列 Contents

14 余因子行列と逆行列

定理 4.82 (行列式と行列の正則性) 正方行列に対して，のときは正則である．

（証明）定理

(728)

であるから，とすると各辺をで割って

(729)

が成り立つ．よってはの逆行列であり，は正則である．

定理 4.83 (余因子行列と逆行列) 正方行列に対して，のときの逆行列は

(730)

で与えられる．

定理 4.84 (逆行列が存在するための十分条件) 正方行列 , に対して（または）が成立するとき，はの逆行列となる．

（証明）より，両辺の行列式をとると

(731)

が成り立つ．これよりを得る．よって，のときは正則であるから，逆行列をもつ．さらにが存在することを用いると

(732)

が成り立つ．が示された．

例 4.85 (余因子行列による逆行列の計算の具体例) のとき逆行列は

(733)

(734)

である．のとき逆行列は

(735)

(736)

である．

例 4.86 (余因子行列による逆行列の計算例) 行列

(737)

の逆行列を求める．行列式は

(738)

であるから，逆行列は

(739)

で与えられる．

例 4.87 (余因子行列による逆行列の計算例) 行列

(740)

の逆行列を求める．小行列の行列式は

(741)

(742)

(743)

であり，行列式は

(744)

であるので，逆行列は

(745)

(746)

と与えられる．

--------------------------------------------------------------------------------

Next: 15 クラメールの公式 Up: 4 行列式 Previous: 13 余因子行列 Contents

Kondo Koichi

Created at 2004/11/26

No.7

klogg4202010/03/25 12:20:47

10pt

http://www.wikihouse.com/mamedalove/index.php?%A5%AF%A5%E9%A5%E1...

ここのサイト１ち度見てください

参考になると思いますよ～

そうなんですか・・・行列って、3元1次連立方程式を簡単に解くために生まれた側面があったんですね！

競馬の話が出てきたのは驚きでした・・・面白いですね・・・まさか競馬の予想に行列が役立つとは・・・

でも難しいです、説明呼んでもいまいちピンときませんでした(ToT)/~~~

結局、どのオッズの馬に賭ければ払い戻し金が同じになるのか、よくわかりません。

例えばS＝1000円が元金だとして、3つの馬に賭けるとしたら、a、b、c、それぞれの馬のオッズは、いくらになるのでしょうか？、

2010/03/27 11:24:17

moon-fondu 2010/03/25 00:46:34

みなさんご回答ありがとうございます！
すぐに返信できなくてすいません、今日はimo758さんの回答から答えを出そうと試行錯誤するのに精一杯でした・・・明日以降にまた返信したいと思いますのでよろしくお願いします<m(__)m>
imo758 2010/03/25 02:33:28

トラックバックをどうぞ
rsc 2010/03/25 05:55:21

　一般的な逆行列の求め方については、拙ブログを参照下さい。(^_^;
http://d.hatena.ne.jp/rsc96074/20100317/1268779460
　それから、行列の画面が乱れているようですが、下記のように行頭で「>||」と「||<」で囲むといいです。
>||
　ここに式を書く
||<
moon-fondu 2010/03/27 13:51:44

＞imo758さん、rsc96074さん
逆行列についてよくわかりました、ありごとうございます(^_^;)
2つ、符号を間違えていたものがあったようで。正しくは、

(-1)^3|| -1 1 ||
　　　|| 1 -3 ||＝－2

(-1)^4|| 3 2 ||

　　　|| 2 1 ||＝－1

ですよね。これで計算しなおしてみました・・・すると、

|| -5 -2 1 ||
|| 7 -5 4 ||＝(-5)・(-5)・(-5)＋(-2)・4・(-1)＋1・7・(-3)－1・(-5)・(-1)－(-2)・7・(-5)－(-5)・4・(-3)＝－273
|| -1 -3 -5 ||

(x)　　　　　　　　　 (-1)　　　(-1)　(-21)
(y)＝－(1/13)・－273・( 5)＝21・( 5)＝(101)
(z)　　　　　　　　　 ( 8)　　　( 8)　(161)

と、全然違う答えが出てきてしまいました(ToT)
いったいどうしてこうなってしまったのでしょうか・・・もしよろしければ、お助けいただければ幸いです(>_<)
moon-fondu 2010/03/27 13:53:38

あれ、rsc96074さんのおっしゃる通りにやってみたのですが、式が乱れてしまいますね・・・私の出した答えは、

(x)　(21)
(y)＝(101)
(z)　(161)

です。何でこうなっちゃうんですかね・・・トホホ・・・(ToT)
rsc 2010/03/27 16:26:41

　逆行列を求めたいのですか。余因子の符号は、(-1)^(i+j)をつかうより、チェスボードルールを使った方がいいですよ。
＋－＋
－＋－
＋－＋
になります。
　それから、余因子が間違えています。私のブログに逆行列の一般的な解法があります。参照下さい。リンク先は、先のコメントにあります。
　たとえば、A11の場合、符号はプラスで小行列式は、1行と1列を単純に取り除いた行列式になります。これはあっているようですが、A12以降が間違えているようです。同様に、1行全部と2列全部を取り除いた行列式になります。正しくは、次の通り。

+| 2 -1|=-6+1=-5, -| 3 -1|=-(-9+2)=7, +| 3 2|=3-4=-1
| 1 -3| | 2 -3| | 2 1|

-|-1 1|=-(3-1)=-2, +| 1 1|=-3-2=-5, -| 1 -1|=-(1+2)=-3
| 1 -3| | 2 -3| | 2 1|

+|-1 1|=1-2=-1, -| 1 1|=-(-1-3)=4, +| 1 -1|=2+3=5
| 2 -1| | 3 -1| | 3 2|

　転置して、

-5 -2 -1
7 -5 4
-1 -3 5

　あとは、これに、(-1/13)を掛けるだけ。
rsc 2010/03/27 16:39:08

やっぱり画面が乱れてしまいました。エディタにコピペして画面を整えてから見て下さい。
imo758 2010/03/28 00:13:18

逆行列は行列です。だから（この場合は）３×３個の数値が並んだものになります。

(-5)・(-5)・(-5)＋(-2)・4・(-1)＋1・7・(-3)－1・(-5)・(-1)－(-2)・7・(-5)－(-5)・4・(-3)＝－273
までいくと、それは逆行列ではなく、逆行列の『行列式』を求めようとしています。
必要なのは『逆行列』です。

あとrsc96074さんも指摘していますが、若干符号を間違えていますね。
あともうちょっとです。
moon-fondu 2010/03/30 00:18:59

＞rsc96074さん
ありがとうございます！
ちゃゃんと逆行列に反映させてなかったです(>_<)
そうですね、逆行列を求めたいというか、imo758さんが最初に回答してくださった方法から解答を導きたいのですが上手くいかないのです・・・3つ目のrsc96074さんの解答のやり方を覚えればいいのですが、別のやり方からでも導いてみたくて・・・(^_^;)

てかチェスボードルールすごいですね、絶対値で囲んで、決められたプラスかマイナスの符号をつければいいんですね！！

-5 -2 -1
7 -5 4
-1 -3 5

で、計算しなおした結果、

(-5)・(-5)・5＋(-2)・4・(-1)＋(-1)・7・(-3)－(-1)・(-5)・(-1)－(-2)・7・5－(-5)・ 4・(-3) ＝ 169

となりました。

であとは、

(x)　　　　　　　　　　 (-1)　　　(-1)　(13)
(y)＝－(1/13)・169・( 5)＝－13・( 5)＝　(－65)
(z)　　　　　　　　　　 ( 8)　　　( 8)　(161)

とすればいいのでしょうか？
でもこれだと、x＝13、y＝-65、z＝161になってしまいますよね？

すいませんが、もしよろしければ、imo758さんが一番最初に回答してくださった逆行列の計算から、x、y、zを求める際において、私が間違っているところをご指摘いただけないでしょうか？

＞imo758さん
行列式にしてはいけないのでしょうか(?_?)
しかし、imo758さんの最初のご回答からx、y、zを導こうとするのであれば、分解して値を出さないといけない気がするのですが・・・
moon-fondu 2010/03/30 00:33:01

＞rsc96074さん、imo758さん
すいません、imo758さんのトラックバックちゃんと読んでなかったです！
行列式にしてはいけないのですね！

でも、imo758さんが書いてくださった途中の計算の結果が、どうして

(1)
(0)
(-2)

になるのか、新たに質問を立ち上げました↓
http://q.hatena.ne.jp/1269876748
ので、もしよろしければ教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします(>_<)

imo758の日記 - クラメール 2010-03-25 02:32:40

クラメール http://q.hatena.ne.jp/1269275132 恐らく逆行列と行列式がごっちゃになっているものと思われます。逆行列は「行列」であり、もとの行列と掛けると単位行列になる「行列」です。途
rscの日記 - 逆行列を求める手順 2010-03-31 23:09:13

逆行列を求める手順 ※チェスボードルールとは、次のように符号が並ぶこと。＋　−　＋　−　＋　−　＋　− −　＋　−　＋　−　＋　−　＋＋　−　＋　−　＋　−　＋　− −　＋

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

リクエスト送信済

回答リクエストを送信したユーザーはいません

rsc · Accepted Answer · 2010-03-23T07:37:29+09:00

　まず、行列式Ｄを求めます。
   | 1  -1   1 |
Ｄ=| 3   2  -1 |
   | 2   1  -3 |
＝1*2*(-3)+(-1)*(-1)*2+1*3*1-1*2*2-(-1)*3*(-3)-1*(-1)*1　←サラスの方法より
＝-6+2+3-4-9+1
＝-13
                         (-1)
　次に、上の行列式Ｄの第1列を( 5)で置き換えた行列式Ｄ1を求めます。
                             ( 8)
      ↓
    |-1 -1  1 |
Ｄ1=| 5  2 -1 |
    | 8  1 -3 |
＝(-1)*2*(-3)+(-1)*(-1)*8+1*5*1-1*2*8-(-1)*5*(-3)-(-1)*(-1)*1
＝6+8+5-16-15-1
＝-13

　同様にして、Ｄ2とＤ3を求めると、
           ↓
    | 1  -1   1 |
Ｄ2=| 3   5  -1 |
    | 2   8  -3 |
＝1*5*(-3)+(-1)*(-1)*2+1*3*8-1*5*2-(-1)*3*(-3)-1*(-1)*8
＝-15+2+24-10-9+8
＝0
              ↓
    | 1  -1  -1 |
Ｄ3=| 3   2   5 |
    | 2   1   8 |
＝1*2*8+(-1)*5*2+(-1)*3*1-(-1)*2*2-(-1)*3*8-1*5*1
＝16-10-3+4+24-5
＝26
　クラメールの公式より
ｘ＝Ｄ1/Ｄ＝-13/(-13)＝ 1
ｙ＝Ｄ2/Ｄ＝  0/(-13)＝ 0
ｚ＝Ｄ3/Ｄ＝ 26/(-13)＝-2

　ちなみに、Wolfram Alpha(ｳﾙﾌﾗﾑｱﾙﾌｧ)で答え合わせすると、

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%5B%7Bx-y%2Bz%3D%3D-1%...

※参考URL

●第1章連立方程式

http://www.ee.fit.ac.jp/~kudou/1mathA/01/01-2.html

●連立方程式の解法例題-1

http://www7a.biglobe.ne.jp/~kamba-home/pdf1006.pdf

●3. 行列式の応用 3.1 クラメールの公式

http://pal.las.osaka-sandai.ac.jp/~ichihara/Teaching/06S/Algebra...

●Rule of Sarrus

http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_Sarrus

rsc · Accepted Answer · 2010-03-23T07:37:29+09:00

　まず、行列式Ｄを求めます。
   | 1  -1   1 |
Ｄ=| 3   2  -1 |
   | 2   1  -3 |
＝1*2*(-3)+(-1)*(-1)*2+1*3*1-1*2*2-(-1)*3*(-3)-1*(-1)*1　←サラスの方法より
＝-6+2+3-4-9+1
＝-13
                         (-1)
　次に、上の行列式Ｄの第1列を( 5)で置き換えた行列式Ｄ1を求めます。
                             ( 8)
      ↓
    |-1 -1  1 |
Ｄ1=| 5  2 -1 |
    | 8  1 -3 |
＝(-1)*2*(-3)+(-1)*(-1)*8+1*5*1-1*2*8-(-1)*5*(-3)-(-1)*(-1)*1
＝6+8+5-16-15-1
＝-13

　同様にして、Ｄ2とＤ3を求めると、
           ↓
    | 1  -1   1 |
Ｄ2=| 3   5  -1 |
    | 2   8  -3 |
＝1*5*(-3)+(-1)*(-1)*2+1*3*8-1*5*2-(-1)*3*(-3)-1*(-1)*8
＝-15+2+24-10-9+8
＝0
              ↓
    | 1  -1  -1 |
Ｄ3=| 3   2   5 |
    | 2   1   8 |
＝1*2*8+(-1)*5*2+(-1)*3*1-(-1)*2*2-(-1)*3*8-1*5*1
＝16-10-3+4+24-5
＝26
　クラメールの公式より
ｘ＝Ｄ1/Ｄ＝-13/(-13)＝ 1
ｙ＝Ｄ2/Ｄ＝  0/(-13)＝ 0
ｚ＝Ｄ3/Ｄ＝ 26/(-13)＝-2