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問題：52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数をxとしたときのxの確率分布を求めよ。(この分布は超幾何分布という)
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という問題がありました。解答は、
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P(X=1)=0.439, P(X=2)=0.213, P(X=3)=0.041, P(X=4)=0.003
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となっているのですが、解答までどうやって導けばいいのか、その過程や、なぜ答えが4つも出てきているのか、よくわかりません(>_<)
また、二項定理と二項分布の関係について全くイメージできませんでして・・・
「二項定理は、二項分布と呼ばれるある種の確率分布に関連している」
http://www.geocities.jp/daylife20040717/math/fe_probab5.html
という風に書かれているサイトなどがあったので、関連性はあるとは思うのですが・・・。
解答までの計算の過程等と、もし可能でしたら、二項分布に関するこの問題が、高校の時に習った二項定理とどのように関連しているのか、説明していただけないでしょうか？
よろしくお願いします<m(__)m>
No.4
4506
438
100pt
■解法の手順
まず、確率変数Xの取り得る値を調べる→確率変数はエース(A)の枚数だから、X=0,1,2,3,4となります。
次に、Xに対する確率P(X=x_k)を求めます。
※確率分布では、確率の和が1になっていなければならない。つまり、Σ{P(X=x_k)}=1に注意!
確率変数Xの取り得る値は、0,1,2,3,4のいずれかで、X=rとなる確率をP(X=r)とすると、
エースが4枚とそれ以外48(=52-4)枚の合計52枚のトランプの中から、同時に13枚を取り出す方法の数は、
52Ｃ13＝635013559600
[1] X=0、つまり、エース0枚、それ以外を13枚取り出す方法の数は、
4Ｃ0×48Ｃ13＝1×192928249296＝192928249296
よって、P(X=0)＝192928249296/635013559600＝6327/20825＝0.303817527010804≒0.304
[2] X=1、つまり、エース1枚、それ以外を12枚取り出す方法の数は、
4Ｃ1×48Ｃ12＝4×69668534468＝278674137872
よって、P(X=1)＝278674137872/635013559600＝9139/20825＝0.438847539015606≒0.439
[3] X=2、つまり、エース2枚、それ以外を11枚取り出す方法の数は、
4Ｃ2×48Ｃ11＝6×22595200368＝135571202208
よって、P(X=2)＝135571202208/635013559600＝4446/20825＝0.213493397358944≒0.213
[4] X=3、つまり、エース3枚、それ以外を10枚取り出す方法の数は、
4Ｃ3×48Ｃ10＝4×6540715896＝26162863584
よって、P(X=3)＝26162863584/635013559600＝858/20825＝0.0412004801920768≒0.041
[5] X=4、つまり、エース4枚、それ以外を9枚取り出す方法の数は、
4Ｃ4×48Ｃ9＝1×1677106640＝1677106640
よって、P(X=4)＝1677106640/635013559600＝11/4165＝0.00264105642256903≒0.003
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=(6327+9139+4446+858+55)/20825＝1
以上より、求める確率分布は次表のようになる。
X | 0 1 2 3 4 | 計 ---+-----------------------------------+---- P | 0.304 0.439 0.213 0.041 0.003 | 1
この問題は何の問題か分類すれば、これは「確率分布」の問題で、まだ、二項分布は含まれていないようです。
二項分布は、反復試行の確率に関する確率分布だから、二項係数を含んでいます。
※参考URL
●確率分布
http://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/statedu/lispstat-book/node62....
●二項分布
数学において、二項分布（にこうぶんぷ）は、結果が成功か失敗のいずれかである n 回の独立な試行を行ったときの成功数で表される離散確率分布である。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%8...
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/statistics/binomial.htm
●反復試行の確率について
No.1
122169
10pt
＞なぜ答えが4つも出てきているのか、よくわかりません
トランプの52枚のカードにはＡが4枚含まれてます。
＞13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数をxとしたときのxの確率分布を求めよ
13毎選んだときのエースの枚数は、0,1,2,3,4のどれかです。
なるほどです、だから解答は4つの場合について考えているわけですね！
No.2
383
20pt
Xの確率分布を求めよ、ということで曲線のグラフが描かれるかのように想像されているのかもしれませんが、ここで問われているのはもっと簡単なことで、
「52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数をxとしたとき、X=1,2,3,4となる場合のそれぞれについてその確率を求めよ。」
ということです。
なので、
P(X=1)～P(X=4)までのそれぞれの値は、52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエースの枚数が1，2，3，4枚である確率を示している訳です。
で、解答の求め方を簡単に述べると、P(X=1)ならば、
(4枚のエースのカードから1枚のカードを選び、エースを除いた残り48枚のカードから3枚のカードを選ぶ方法)/(52枚のカードの中から4枚のカードを選ぶ方法)
ということになります。同様に、P(X=2)、P(X=3)、P(X=4)も計算することが出来ます。
恐らく高校数学は一通り勉強された方だと思いますので、これだけ述べれば後は大丈夫ですよね?結局二項分布というのはこうして計算したデータを一つのグラフにまとめたものなのです。
そうなのですね！「二項分布」という名称に委縮していましたかもしれません・・・ありがとうございます。
No.3
32629
50pt
まずは、
問題１：52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数を１枚としたときの確率を求めなさい。
これなら分かりやすいでしょう。
選び方は、４枚のAのうちの一枚＝4C1と、その他48枚の中から自由に１２枚＝48C12、そしてすべての可能性は52C13となるから
答えは 4C1x48C12/52C13=0.4388475
Combination組み合わせのCの計算の仕方は下記を見てください。
http://www.dinop.com/vc/combination.html
同様に
問題２：52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数を２枚としたときの確率を求めなさい。
答えは 4C2x48C11/53C12=0.2134934
問題３：52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数を３枚としたときの確率を求めなさい。
答えは 4C3x48C10/53C12=0.04120048
問題４：52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数を４枚としたときの確率を求めなさい。
答えは 4C4x48C9/53C12=0.002641056
この４つの問題を同時に表したのが
問題：52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数をxとしたときのxの確率分布を求めよ。(この分布は超幾何分布という)
ということになります。
なるほどです！
ありがとうございます、問題の趣旨が明確になりました！X=0のときも求めてようやく、確率の和が1になるのですね。。。
No.4
4506438
ここでベストアンサー
100pt
■解法の手順
まず、確率変数Xの取り得る値を調べる→確率変数はエース(A)の枚数だから、X=0,1,2,3,4となります。
次に、Xに対する確率P(X=x_k)を求めます。
※確率分布では、確率の和が1になっていなければならない。つまり、Σ{P(X=x_k)}=1に注意!
確率変数Xの取り得る値は、0,1,2,3,4のいずれかで、X=rとなる確率をP(X=r)とすると、
エースが4枚とそれ以外48(=52-4)枚の合計52枚のトランプの中から、同時に13枚を取り出す方法の数は、
52Ｃ13＝635013559600
[1] X=0、つまり、エース0枚、それ以外を13枚取り出す方法の数は、
4Ｃ0×48Ｃ13＝1×192928249296＝192928249296
よって、P(X=0)＝192928249296/635013559600＝6327/20825＝0.303817527010804≒0.304
[2] X=1、つまり、エース1枚、それ以外を12枚取り出す方法の数は、
4Ｃ1×48Ｃ12＝4×69668534468＝278674137872
よって、P(X=1)＝278674137872/635013559600＝9139/20825＝0.438847539015606≒0.439
[3] X=2、つまり、エース2枚、それ以外を11枚取り出す方法の数は、
4Ｃ2×48Ｃ11＝6×22595200368＝135571202208
よって、P(X=2)＝135571202208/635013559600＝4446/20825＝0.213493397358944≒0.213
[4] X=3、つまり、エース3枚、それ以外を10枚取り出す方法の数は、
4Ｃ3×48Ｃ10＝4×6540715896＝26162863584
よって、P(X=3)＝26162863584/635013559600＝858/20825＝0.0412004801920768≒0.041
[5] X=4、つまり、エース4枚、それ以外を9枚取り出す方法の数は、
4Ｃ4×48Ｃ9＝1×1677106640＝1677106640
よって、P(X=4)＝1677106640/635013559600＝11/4165＝0.00264105642256903≒0.003
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=(6327+9139+4446+858+55)/20825＝1
以上より、求める確率分布は次表のようになる。
X | 0 1 2 3 4 | 計 ---+-----------------------------------+---- P | 0.304 0.439 0.213 0.041 0.003 | 1
この問題は何の問題か分類すれば、これは「確率分布」の問題で、まだ、二項分布は含まれていないようです。
二項分布は、反復試行の確率に関する確率分布だから、二項係数を含んでいます。
※参考URL
●確率分布
http://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/statedu/lispstat-book/node62....
●二項分布
数学において、二項分布（にこうぶんぷ）は、結果が成功か失敗のいずれかである n 回の独立な試行を行ったときの成功数で表される離散確率分布である。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%8...
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/statistics/binomial.htm
●反復試行の確率について
そうなんですか！二項分布の問題ではないのですね～教えていただき、ありがとうございます<m(__)m>リンクもたくさんありがとうございます(^_^;)
4つ目のリンクの(5)の問題の表はまさに、二項定理の計算と同じですね！
「なんで分母が3^5なのかな？」と一瞬戸惑いましたが、「サイコロの3と6が出る確率」＝「2/6」＝「1/3」ということで、「(1/3)^5の中で、3と6の場合はどれだけありうるか？」を考えればいいのですね～いやはや、いろいろ忘れてますね(汗)
考え中
2010/05/12 02:33:03
1
1
2
236
235
moon-fondu
そうなんですか！二項分布の問題ではないのですね～教えていただき、ありがとうございます<m(__)m>リンクもたくさんありがとうございます(^_^;)
4つ目のリンクの(5)の問題の表はまさに、二項定理の計算と同じですね！
「なんで分母が3^5なのかな？」と一瞬戸惑いましたが、「サイコロの3と6が出る確率」＝「2/6」＝「1/3」ということで、「(1/3)^5の中で、3と6の場合はどれだけありうるか？」を考えればいいのですね～いやはや、いろいろ忘れてますね(汗)