【ネイピア数】e(=2.71...)に関する９の予想を立てました。コメント欄に載せます。あってるか間違ってるか証明してください。

http://q.hatena.ne.jp/1274539175

Log X は単調増加なので、

X、Y＞0ならば X＞Y と LogX＞LogY は同値。

命題の両辺Logをとったものを考察

• ２：a＞0のとき a/e ＜(a/x) Log xをみたす正のxは存在しない。

右辺をxで微分すると a/x^2(1-Logx)。したがって右辺はx=eで最大値a/eをとるので２は正しい

• ３：上と同様。x=eで最小値 a/eをとるので３は正しい
• ４：a＞０のとき -(a/x)Log x＜-(a/e)をみたす正のxは存在しない。

両辺ー１倍して (a/x)Log x＞a/e 。２と同じなので正しい

• 5：a＜０のとき ３と同じ
• 6： -xLog x ＜ 1/eをみたす正のxは存在しない

左辺を微分：-(1+Logx) したがって左辺はx=1/eで最大値1/eをとるので６と逆。６の不等号を逆にすれば成立。

こんなところでしょうか。