以前、

【問】次の2次曲面の標準形を求めよ。(3×3行列Aと、4×4行列A'を求め、Aを対角化する直行行列Tを求めること)

　(b)の方が解きやすいから、(b)から求めます。

(b)3x^2＋2y^2＋2z^2＋2xy＋2xz－1＝0

　まず、AとA'を求めます。参考URLで言うと、行列Aの行列式はΔ、行列A'の行列式はDになります。

A=( 3  1  1 ), A'=( 3  1  1  0 )
  ( 1  2  0 )     ( 1  2  0  0 )
  ( 1  0  2 )     ( 1  0  2  0 )
                  ( 0  0  0 -1 )
Δ=|A|=8, D=|A'|=-8

　次に、Δ(λ)=0を求めると、
Δ(λ)=| 3-λ  1    1   |=-λ^3+7λ^2-14λ+8=0
     |  1   2-λ  0   |
     |  1    0   2-λ |
∴Δ2=7,Δ1=14　←Δ1,Δ2は、上の計算結果のλの係数に名前を付けているだけです。
∴λ=1,2,4

　参考URLの(5.2)式から、求める標準形は
X^2+2Y^2+4Z^2+(-8)/8=0
∴X^2+2Y^2+4Z^2=1
∴X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1　(長円面(楕円面))

　問題の指定により、直交行列Tを求めるておくと、λは求めてあるので、 固有値λ=1,2,4
　λ=1のとき、
Δ(1)=( 2  1  1 )
     ( 1  1  0 )
     ( 1  0  1 )
∴
( 2  1  1 )(x) (0)
( 1  1  0 )(y)=(0)
( 1  0  1 )(z) (0)
∴
　2x+y+z=0
　 x+y  =0
　 x  +z=0
　これから、x:y:zの比を求めて、x:y:z=1:-1:1
∴x/1=y/-1=z/-1=t
と置いて、大きさが1になるものを求めると、
x^2+y^2+z^2=3t^2=1
∴t=±1/√[3]で、正の方をとって、
∴↑t1＝(+1/√[3)
      (-1/√[3)
      (-1/√[3)
　λ=2のとき、
Δ(2)=( 1  1  1 )
     ( 1  0  0 )
     ( 1  0  0 )
∴
　x+y+z=0
　x    =0
　x    =0
∴x:y:z=0:1:-1
　大きさが1のものを求めるには、√[0^2+1^2+(-1)^2]で割ってもよい。
∴↑t2=(   0    )
      (+1/√[2])
      (-1/√[2])
　λ=4のとき、
Δ(4)=(-1  1  1 )
     ( 1 -2  0 )
     ( 1  0 -2 )
∴
　-x+ y+ z=0
　 x-2y   =0
　 x   -2z=0
∴x:y:z=2:1:1
∴↑t3=(2/√[6])
      (1/√[6])
      (1/√[6])
よって求める直交行列Tは、
T=(+1/√[3]     0     2/√[6])
  (-1/√[3]  +1/√[2]  1/√[6])
  (-1/√[3]  -1/√[2]  1/√[6])

(a)2x^2＋4y^2＋z^2＋4xy－2xz－1＝0

　まず、AとA'を求めます。参考URLで言うと、行列Aの行列式はΔ、行列A'の行列式はDになります。
A=( 2  2 -1 ), A'=( 2  2 -1  0 )
  ( 2  4  0 )     ( 2  4  0  0 )
  (-1  0  1 )     (-1  0  1  0 )
                  ( 0  0  0 -1 )
Δ=|A|=0, D=|A'|=0

　次に、Δ(λ)=0を求めると、
Δ(λ)=| 2-λ  2   -1   |=-λ^3+7λ^2-9λ=0
     |  2   4-λ  0   |
     | -1    0   1-λ |
∴Δ2=7,Δ1=9
∴λ=0,(7±√[13])/2
D(μ)=| 2-μ  2   -1   0 |=μ^3-7μ^2+9μ=0
     | 2    4-μ  0   0 |
     |-1     0   1-μ 0 |
     | 0     0    0 -1 |
∴D2=-7,D1=-9

　参考URLの(5.2)式から、求める標準形は
λ1=(7+√[13])/2,λ2=(7-√[13])/2とおくと、
λ1X^2+λ2Y^2+(-9)/9=0
∴λ1X^2+λ2Y^2=1
∴X^2/(1/λ1)+Y^2/(1/λ2)=1　(長円柱(楕円柱))

　問題の指定により、直交行列Tも求めておかなければなりませんが、√が入って来て、さすがに滅入ってしまいました。他の方にお任せします。

■この方程式は、2次曲線の時の問題と似たような2次方程式なのに、曲面を示す方程式になるのでしょうか？

　次元が一つ増えるからじゃないでしょうか。たとえば、xy平面で、ax+by+c=0は直線を表しますが、空間では平面を表します。

xy平面上では、xy平面z=0が暗黙の大前提となっています。つまり、空間から見ると、平面ax+by+c=0とxy平面z=0との交線になっています。

※参考URL

●二次曲面の分類

http://ir.iwate-u.ac.jp/dspace/bitstream/10140/881/1/erar-v16n2p...