サーバーを移転するにあたり何をしたらいいか教えてください。DNSの設定は当然するのですが、サーバー側でも確かIPアドレスの設定を変更したような気がします。（遠い昔の記憶です）恐れ入りますが、どことどこのファイルを修正するか教えてください。

サーバと一口に言っても・・・

質問者さんは、機械としてのサーバを移設しようとされているのですね？

現在のルータの配下から、別回線の、別ルータの配下への引っ越し？

それとも、ルータを介していなくて、直で回線に繋がっていたり？

機械としてのサーバのOSは何でしょうか？

稼働しているwebサーバは何でしょうか？

もしかしたらwebサーバではなくて、

メールサーバ、アプリケーションサーバ、DBサーバ、FTPサーバ、そのほかいろいろ・・・・かもしれない

環境または構成について詳細に書くと、

よりよい回答が得られると思いますよ。

サーバ・アプリケーションはそのままで、ハードウェアを別のLANに移転するという意味ですか？

サーバOSや使用アプリケーションが分からないと、正確な回答はできません。

使用OSがLinuxであれば、少なくとも下の設定・確認を行う必要があります。

http://complete.ddo.jp/cent5/network.html

IPアドレスを設定し直す。

http://www.iodata.jp/support/advice/np-bbrm/ipkotei.htm

コメント欄が使えないので、申し訳ないですが追記します。

IPアドレスの設定方法として、GUIとファイルの直接修正を紹介しましたが、以前IPアドレスの設定をファイルを直接修正して行っているのであれば、今回もファイルを修正して行うことをお勧めします。

手作業で修正したファイルは、GUIからうまく修正できず、設定をおかしくしてしまう可能性があるためです。

また、IPアドレスの修正は、ネットワーク経由ではなく、マシンの画面上から行うようにしてください。どうしてもネットワーク上から行うのであれば、相当ちゃんと準備してやらないと、最悪マシンにアクセスできなくなってしまいますので。