数学の証明問題で、困っています。aが最大辺であることや、△ABCが鋭角三角形になるためのaの角度など、その条件が何なのか、数式に示すことができませんでして・・・(>_<)

９番で回答したotenki8です。

内容が間違っておりましたので、訂正させていただきます。

問題２で、直角三角形になる条件ですが、

（誤）a = 6

（正）a = √34

でした。

よって、aの範囲は、

5 < a < √34

です。

申し訳ありませんでした。お詫びして訂正させていただきます。

答えの寸前まで。

1 ·最大辺ですから、bやcより大きいこと　つまり　5<a</p>

　·三角形ですから、aがb+cより大きいと三角形が成り立たない　つまり a<(b+c)

２鋭角三角形ですから、どの角度も直角より小さい。境目はどこかが直角である三角形。

最大辺の向かい側の角が、最も大きい角ですから、ここが直角な三角形。

で、ピタゴラスの定理から、

a^2 = b^2+c^2

1. a の取りうる値の範囲

a が最大辺なのだから、b, c の長い方よりも大きいので、a ＞ 5 。

a をどんどん長くしてゆくと、∠A が大きくなっていくけど、b + c = a だと∠A = 180度 で三角形じゃなくなっちゃうので、a ＜ b + c

合わせて、

　　5 ＜ a ＜ 8

2. △ABC が鋭角三角形となる a の範囲

a が最大辺なのだから、∠B と ∠C は鈍角にならない。

鋭角三角形になるためには、∠A ＜ 90度なのだから、a の最大値は三平方の定理を使って

a = √(b^2 + c^2) = √34

　　5 ＜ a ＜ √34

1.は　5＜a＜8

2.は　5＜a＜√34

だと思います。

以下、証明（もどき？）文です。

1.

aが最大辺なので、a＞cより、a＞5

a≧b＋cとなると、△ABCが作れないので、a＜b＋c

よって、a＜8

以上より、　5＜a＜8

2.

余弦定理より、

　　　　　　　　　b^2＋c^2－a^2

cosA＝――――――――――――――

　　　　　　　　　　　 2bc

　　　　　　　　　　　↑

　　　　　　　（分数のつもりです）

A＜90°のとき、cosA＞0より、a^2＜b^2＋c^2

A＝90°のとき、cosA＝0より、a^2＝b^2＋c^2

A＞90°のとき、cosA＜0より、a^2＞b^2＋c^2

∠A＜90°になればよいから、a^2＜b^2＋c^2

b＝3,c＝5を代入して、

a^2＜34

　a＜√34

これとa＞5より、

5＜a＜√34

こんな感じで大丈夫ですか？

(1)aは三角形の中で最大の長さの辺なので5以上。また三角形になるにはaはb+cより短い必要があるので、

答え）　　5≦a＜8

(2) 鋭角三角形とは全ての角が90度未満の三角形のこと。(1)の答えの範囲で角Aが90度になるときのaを求めれば良い。角Aが90度のとき、ピタゴラスの定理から

　a^2 = b^2+c^2

　　　=　25+9

　　　= 34

従って a = √34

　答え)　5≦a＜√34

A1

aが最大辺なので、a>c=5

三角形の１辺の長さは他の２辺の長さの和より小さので、a<b+c=8</p>

よって、5<a<8</p>

A2

三角形の辺の大小関係はその対角の大小関係と一致するので（下記リンク参照）、

http://www.e-learning-jp.net/teach_math/math1/text/01_08_05_001a...

辺aの対角が最も大きく、aが8に近いときは鈍角三角形です。aを徐々に減少させると、

ある長さのとき直角三角形になり、それより小さいと鋭角三角形になります。

△ABCが直角三角形になるのは、a=√(b*b+c*c)=√34のときです。

A1の結果と合わせて、

5<a<√34のとき、△ABCが鋭角三角形になる。</p>

以上

aが最大辺ということですから

最小はｃで５、最大はｂ＋Cで８ ∴ aのとりえる値は５から８の間（5≦a≦8)

∠Aが鋭角でaが最大辺ということですから直角まで（直角を含まず）

∠Aが直角の時はa=√（5x5+3x3）=√34ですから

最小はｃで５、最大は）√34未満 　∴aのとりえる値は５から√34８の間（５≦a＜√34）

元問題には無いようですが

∠Aはcos(10/3)からπ/2(:=90度）未満の間です。（最小はa,b,cが５，３，５の二等辺三角形、最大が√３４未満、３，５の直角三角形に限りなく近い形です）

数直線を考えます。

X軸上で長さ５になる点(5,0)にC

原点を中心に半径3で回転する円上の点をBとします。

直線CBの長さがAになります。

絵を書いてBを回すと、aが一番短くなるのは

Bが(2,0)になったときで、一番長くなるのはBが(-2,0)になったときです。その時は三角形にならないので、等号を含まず

5-3=2<a<8=5+3　になります。</p>

まず、角Aが鋭角になる条件は、Bが(0,3)の位置にいるa=√(3^2+5^2)=√34の時よりaが小さくなれば良いので、a<√34

aが小さくなりすぎると今度は角Bが鈍角になるので、角Bが９０度になる点を考えると、三角形ABCはBが直角になるので

三平方の定理より　c^2=b^2+a^2となり

a=√(c^2-b^2)=4

よって 4<a<√34</p>

まず、両手で三角形を作りましょう。

使う指は親指と人差し指です。

bを左手の人差し指（＝左辺）、cを右手の人差し指（＝右辺）、そしてaを親指2本をつなげたもの（＝底辺）としてください。

１、（１）aの最大値

手元の三角形をぺしゃんこにするとどうなりますか？　人差し指と親指がくっついてしまうと三角形ではなくなりますので、一歩手前で止めます。人差し指2本分（b+c）よりも、親指2本分（a）が大きくなることはありませんね。

すなわち、最大値は8です。

（２）aの最小値

今度は、手元の三角形を縦長に伸ばしていきます。親指部分が短くなるのが分かりますね。

問題文に「aを最大辺とする」という条件があるので、cの長さ（5）よりは大きくなります。

よって、最小値は5です。

aの範囲は

5 < a < 8

となります。

２、90度になる条件を調べるためにピタゴラスの定理（三平方の定理）を使います。

aの２乗　＝　bの２乗 + cの２乗　＝　3x3 + 5x5　＝　36

よって、

a ＝ 6

です。

※手元で三角形を作ってみてください。

よって、答えは、

5 < a < 6

となります。

そもそも証明問題とはどこにも書いてませんが？

A1) 5 < a < 3+5=8

A2) 5 < a < √(3^2+5^2)=√34

「a＜ー(√13)/2＋1/2または、(√13)/2＋1/2＜aかつ－２＜a＜３、かつ2＜a」という、aについて複雑に場合分けされた解答には至ることができないのです

確かに、参照先のページって、説明がへたくそで、よく分からないね（これで、塾講師か　X-)）。

ルートが入ってる方の条件は、cosθの不等式を解いてるだけだから良いよね。

2＜a は、場合分けで「3＜2a－１の場合」とあるから、これを解けば良い（「解く」というほどじゃない）。

－２＜a＜３ が、よく（ぼくには）分からない。

他の二辺の長さが、２と３だから、三角形として成立するためには、

CA が一番短い場合: CA ＞ 3－2 → 2a－1 ＞ 1 → a ＞ 1

CA が一番長い場合: CA ＜ 3＋2 → 2a－1 ＜ 5 → a ＜ 3

で、1＜a＜3 のような気がするんだけどね。

みんな必要条件しかいってなくない？

５＜a＜８　であれば三角形を構成できるって事はいわなくて良いの？

要するに証明はこう。

　みんながいっていることから、５＜a＜８である必要がある。

　逆に５＜a＜８であった場合、

a + b > 5 + b = c + b > c

b + c = 8 > a

c + a > c + 5 > c + b > b

　であるので、５＜a＜８であれば十分

　∴５＜a＜８　が必要十分条件

２も同じだよね。

みんなのは必要条件、

逆にaの範囲を決めてから余弦定理から鋭角であることを示す必要があるんじゃない？