アンドロイド　アプリの作成をしています。

その「あるサーバー」ではユーザーに何らかの操作をさせるのですか？

もしそのサイトにアクセスするだけで(ユーザーが何もしなくても)自動的にクッキーを生成しているのなら、同じ事をandroidアプリ側で行えばいいような気がします。

どうしてもサーバーからデータを受け渡したいなら、リダイレクトを利用する方法があります。

AndroidManifest.xmlでActivityにこんなインテントフィルターを付けます。

<intent-filter>
  <action android:name="android.intent.action.VIEW" />
  <category android:name="android.intent.category.DEFAULT" />
  <category android:name="android.intent.category.BROWSABLE" />
  <data android:scheme="myapp" android:host="mainactivity" />
 </intent-filter>

これでこのActivityは"myapp://mainactivity/"というURLに反応するようになります。

あとは標準ブラウザにインテントを飛ばしてサーバーにアクセスさせ、サーバーから"myapp://mainactivity/"にリダイレクトをかければAndroidアプリへのコールバックが可能です。

Activityでは

String url = activity.getIntent().getDataString();

でURLが取得できますから、リダイレクトURLに必要なデータを含めれば任意のデータを受け渡し可能です。

ただ、URLにプライベートなデータを含めるのは筋が悪いと思うので(URLというものは暗号化するわけにいかないので、外からは丸見えです)、

ここでは認証用に一時的に生成した識別子だけを渡しておいて、実際に必要なデータはアプリ側でDefaultHttpClientなりで取得したほうがいいでしょう。

あとリダイレクトURIは万が一の重複を避けるため、パッケージ名を使うなどする必要があるでしょう。

一瞬ブラウザが立ち上がってしまう以外はユーザーの目に見える現象はないと思います。

難点としては、この方法が通用しない仕様のブラウザがユーザーの間に広まってしまうと厄介なことになる、ということでしょうか。

(そのような可能性は限りなく低いと思いますが、必要ならトラブルシューティングとして別のブラウザで試してみるよう告知することも考えられるかも)