音楽プレイヤーを買おうと考えているのですが、オススメはありますか？

ご提示の条件だとSONYのウォークマン NW-A850が良いと思います。

http://av.watch.impress.co.jp/docs/news/20100915_393605.html

•音質が良い事

　→ フルデジタルアンプS-Master搭載により、Amazon等でも高い評価を得ています。

　　 http://amzn.to/n70wzV

•ディスプレイが付いており画質が綺麗な事

　→ 有機EL液晶搭載です。（次期モデルは非有機ELのようです）

•走りながらでも聞ける事

　→ 「走りながら」が何を意味するのか掴みかねていますが、

　　 メモリタイプなので振動による音飛びは無いです。

•自分仕様に色々な部分をカスタマイズ出来る事(壁紙等)

　→ 壁紙の変更可能です。http://bit.ly/perrUF

　　 ただ、私の所有しているNW-S739Fでは可能な画面のテーマ設定が見当たりませんでした。

•価格が高すぎない事

　→ どのくらいを高いと感じるかわかりませんが、特別高くは無いと思います。

私はiPod touchかiPhoneをお勧めします。Shuさんの観点では、欠点としてはゲームができてしまうことでしょうか？ (LoL)

サイズと値段をどう感じるかは、ひとそれぞれではありますが。

回答欄から再び失礼します。

iPhone / iPod touchのランニング用のアプリを紹介したサイトがあります。

面白いですよ。ぜひご覧ください。こちらです。

iPhone / iPod touchのランニング用のアームバンドが販売されています。かっこいいですよ。こちらです。

(Amazonのアフィリエイトリンクが入っています。購入条件は一般と同じです。もしもよろしかったらで結構ですが、見てみてくださいね。)

値段はねぇ、やっぱり高いですかね。いっそ携帯電話をiPhoneに換えたら、合計金額は安くなりますよ。