○×問題を85％の確率で正答できる人は、４択問題（難易度は同じ）を何％正答できますか？また、３択、５択、８択などにも応用できる計算式があったら教えて下さい。

「これは違う！」　と思うのを消していく「消去法」がオススメです。

まずＮ選択肢の選択問題で、回答が判らないけど適当にマークして合う確率は　１／Ｎ。

だから１つも回答が判らなくても、ＯＸだと５０％、４択なら２５％は取れる計算になります。

○×で８５％取れる人は判ってる問題もあるってことですから、この分を計算すれば良いのです。

回答の判ってる問題の割合をＡとすると、判ってる問題の正解確率は１００％なので

○×問題では

　100%*A+50%*(1-A)=85%

ですから、

Aを求めると、70%。

つまり正解が判っている回答が７０％で、後は適当にマークして８５％の配点が取れてる。

４択問題で同じ事をやったならば

　100%*70%+25%*(1-70%)=77.5%

となります。

ああ、もちろんこの方法で、

３択、５択、８択なども可能ですよ。

それぞれ、８０％、７６％、７３.８％ですね。

もし、問題の中身とかは、さっぱり分からないんだけど、ふたつに分けたグループから、

正解を含んでいる方を 85% の確率で嗅ぎわけることができる、超人的な嗅覚を持つ人がいた場合。

四択の場合。

二個ずつのグループに分けて、正解のグループを当てる確率が 85%、

正解のグループから、正解を当てる確率が 85% なので、

0.85×0.85 = 72.25 %

三択の場合。

二個と一個のグループに分けて、正解が二個の方にある場合と、一個の方にある場合に分けて考えます。

正解が二個の方にある場合には、二回考えなきゃいけないので、0.85 × 0.85。

正解が一個の方にある場合には、0.85。

正解はひとつだけなので、組合せは三通りあり、二個の方に入るのが二通りだから、

(0.85×0.85×2＋0.85×1)÷3 = 76.5 %

五択の場合。

なるべく正解率をあげたいので、最初に、三個と二個のグループに分けます。

二択と三択の場合の結果を使います。

(0.85×0.765×3＋0.85×0.85×2)÷5 = 67.915 %

八択の場合。

これも正解率を上げることを考えて、最初に四つずつのグループに分けます。

四個に絞り込んだ後は四択の正解率です。

0.85×0.7225 = 61.4125 %

因みに、五択で三個と二個のグループに分けるという工夫をしなかった場合。

四個と一個のグループに分けた場合は、

(0.85＋0.85×0.7225×4)÷5 = 66.13 %

更に、五個のものを二つに分ける組み合わせを考えると、

１：４にするのは、五個からひとつ選ぶのと同じだから、五通り。

２：３にするのは、五個から二つ選ぶのと同じなので、5Ｃ2 = (5×4)÷(2×1) で、十通り。

なので、全てで十五通りなので、

(0.67915×10＋0.6613×5)÷15 = 67.32 %

八択の場合で、工夫をしなかったときには...

これまでのコメントは、どれも答えに当て嵌まりません。

何故なら、○×形式で確率を検証した結果、同じ正解率でも問題数が違うと異なってくるからです。

例:正解率50%として計算します。

全2問の場合:1問正解の確率50%(0問正解,2問正解の確率は共に25%)

全4問の場合:2問正解の確率37.5%(0問正解,4問正解の確率は共に6.25%、1問正解,3問正解の確率は共に25%)

全6問の場合:3問正解の確率31.25%(0問正解,6問正解の確率は共に1.5625%、1問正解,5問正解の確率は共に9.375%、2問正解,4問正解の確率は共に23.4375%)

となりました。

その為、正解率だけなく、問題数も判らなければ答えは出てこないと思います。

取り敢えず、解答パターンはα^n[α:選択数,n:問題数]で出てきます。

これを逆数にすると、1パターン当たりの確率が出ます。

後は、正解率85%に相当するパターンがいくつあるかが判れば答えが出るのですが、公式を導き出せませんでした。

立てなければならない前提が色々必要そうで結構迷いますね。

1. 正解を知っている人が正解する確率　…　1
2. ある選択肢が正解で無いと知っている人が正解する確率　…　1/(選択肢の数 - 誤りと分っている選択肢の数)
3. 全然分らないので当てずっぽうな人が正解する確率　…　1/選択肢の数

以上の3種の人がどのくらいの割合になるかを考慮して按分することになるのではないでしょうか。

また、選択肢が増えるほど、2.の想定も複雑怪奇に膨らんでいきます。

…と考えたんですけど、そもそも「○×問題を85％の確率で正答できる人」というのがどういう人なのかも併せて考える必要がありますよね。85%のうち、どのくらいが当てずっぽうなのか。