私の勤めている会社で、登記上の会社名が（例）「○○○ソーシャル・ネットワーキング・サービス株式会社」のように非常に長いので、通称で（例）「○○○SNS」のように名乗りたいと思っています。

登記上と異なる通称を名乗って良いかどうかは、それが公的文書かどうかで判断できます。

つまり、ご質問の中で問題になるのは「③契約書」のみです。それ以外は公的文書ではありませんので、通称である「○○○SNS」を名乗って問題ありません。

よく知った取引先なら略称で挨拶することは一般的にありますが、公的な書類などでは長くなっても「○○○ソーシャル・ネットワーキング・サービス株式会社」と書くべきです。

特に契約書においては、略称で書いてしまうと法的効力がありません。

また、他の条件についても万一その名前が登録商標されている場合、問題になる場合もありますので、略称で名乗るのはやめたほうが良いです。

社名が長くてあまりにも不便を感じるようであれば、登記上の社名（商号）の変更をしたほうがよいでしょう。


ご参考になれば幸いです。

何をもって判断するかにより異なります。社会的な意味でしたら既に他の方が解答されている通り（ある程度オフィシャルと思われる場であれば正式名称を用いるのが常識）です。

なお、法的な話について言えば、例示された４つの場合について特に規制はありません。たとえ契約書であっても略称を用いることは可能ですし、それによって法的効力に影響を与えません。略の程度については、契約書全体から当事者を特定することができる程度であれば差し支えありません。

ただし省略によって相手が誤解した場合（これを錯誤といいます。民法９５条）や、相手は誤解していなくとも、利害関係のある第三者が誤解した場合（同９４条２項類推適用など）に対抗できないリスクを負います。

なお、略称にとどまらず、同一の営業所について全く別の商号（社名）を付すことは、商業登記法２８条の解釈によって禁止されていると解されています。

　全てにおいて契約書以外法的義務はありませんが正式名称は必要だと考えます。
　ただし、併記するのは構いませんが。
　
　名刺にしても名前を覚えて貰うだけなら、略称で構いませんが特に大手企業や先進企業だと最初に受け取った名刺で取引先の管理システムに登録してしまいます。
　そこで入力された情報が最終的には入出金に関わる書類にも反映されることになってしまいます。会社の名称が変更になったからというのならまだしも、名刺に略称しか書いてなかったからとなると管理部門からお小言を頂戴するといったことにもなりかねません。
　名刺なら「○○○ソーシャル・ネットワーキング・サービス株式会社（略称：○○○ＳＮＳ）」とでもされると良いでしょう。実際にそういった名刺を頂戴した経験もありますし、後日、今回の例だと社名を○○○エス・エヌ・エスに正式に変更した時は他の同僚と「社名のどこが変更されたんだ」って笑いましたからね。
　提案書もそうです。正式発注の際の稟議書とそれに添付する提案書や見積書、その後発行する契約書のいずれかで名称が変わるのを嫌がりますからね。

①名刺
略称で構いませんが、名乗る時に必ず何の略なのかを伝える必要があります。
②提案書
略称で構いませんが、社印を押すものならその部分だけは正式名称が良いです。
③契約書
正式名称を記載しますが、文章中に何度も出てくる場合には、(以下、「○○○SNS」と記載する)と書いて、略称を使用することも可能です。
④パンフレットなどの広報媒体
略称で構いません。

名刺、提案書、契約書、パンフレットなどの広報媒体については、すでに回答が出ていますので、
それ以外で問題になると思われるものとして、社印があります。
社印の場合、ゴム印であれば略称でもかまわないと思いますが、角印はNGですね。
また、封筒では、省略してもかまわないと思います。
以上、ご参考まで。