労働条件通知書をもらっていません。

派遣社員は、まず派遣会社に登録しなければなりません。
そういった派遣登録はしていますか？　ご確認ください。

派遣登録・派遣契約をしているのでなければ、あなたは雇用期間の定めのない正社員として働いていることとなります。

派遣社員とは

http://www.job-getter.com/3interview/Dictionary-h02.htm

正社員として働いているが雇用契約を結んでいない

http://q.hatena.ne.jp/1265117656

派遣社員の方が、派遣法に基づく雇用契約書が必須になり、何も無い方が通常の雇用と主張しやすいでしょうし、現実にもその可能性の方が高いと思います。
派遣には2種類あり、特定派遣は正社員です。
　
＞派遣社員として～
これだけではさっぱり分かりません。
特定派遣であれば、正社員として採用されています。
単にどこか別の企業へ派遣され、そこの指揮命令を受ける事になるだけであって、身分としては一般派遣と全く違い、派遣元の正社員ですから派遣先がどうなっても労働者（社員）としての雇用契約は継続し、いわゆる派遣切りにはなりません。ただし、通常の正社員と同様に派遣元から解雇される可能性は常にあります（誰でも）
その文書の内容と実際の労働実態とで判断されますので、詳細が分からないと何とも言えません。
　
契約解除する事は簡単です。
すでに働き出しているのですから契約自体は成立しているものの、売買契約のようなものではありませんし、即日でもやめる事自体は大した問題ではありません。
（ごたくを並べる会社は多いですが、軽くスルーしておけば問題にはなりません）
ただ、次がすぐ見付かるんですかね？
問題ないなら構いませんが、現在の環境では選択肢は狭いと思います。
http://www.work2.pref.hiroshima.jp/rouqa1/rouqa.html

辞めたいのであれば、その契約期間1ヶ月で辞めるのがいいでしょうね。辞意は来週にでも伝えておけば大丈夫でしょう。
契約期間の途中で辞めるのは、あまりおすすめしません。どうしてもすぐに辞めたいのであれば、体調が悪いなど、健康上の都合というやむを得ない理由で辞めるという方法があります。

◇契約満了で辞めましょう
http://haken.30sweb.com/faq/faq-5/beginne_3.html

◇契約途中で辞めるときは？
http://www.pocoapoco.ecnet.jp/qa/hakenqa-t02.htm

来週渡すと言っているのであれば、それを信じて待ってみるというのも一つです。
渡されなければ、辞めたほうが良いです。

確実に辞めたい場合には、「辞めます」という旨を口頭ではなく、文書で伝えたほうが良いでしょうね。言った、言わないにならないためにも、そうされることをお勧めします。文書には署名と日付をきっちり入れてください。でき得れば、会社の受領印をもらうとより確実ですね。

しっかり雇用契約書を確認してから考えればいいでしょう。
やめたければもちろんやめられるでしょうし、
特定派遣ならまあそんなもんでしょう。
社員＝月給ではなく時給の積み上げ計算でも結局は同じでしょうから、
残業等もしっかりもらえるだろうし、じっくり考えたらいいでしょう。
派遣会社の社員としてほかの会社に派遣されるのはまあありでしょうし、
とりあえずは契約社員からと考えているのかもしれません。
とにかく書類でほしいのならいえばもらえるでしょうから、
それまで待ってもいいのではないかと思いますよ。

「辞退」ではなく「退職」なのですね。

内定段階であれば辞退ですが、既に働いているのなら退職になりますね。