下記のPHPソースで、cronを使用して、定期的にPHPソースとMySQLのダンプファイルの二点をバックアップを取っておりますが

真っ先に考えられるのは、環境変数の問題です。使っている OS や、ユーザの crontab に設定したのか、/etc/cron.daily のようなところにスクリプトを置いたのか、といったことで違いますが、例えば、手元の CentOS では /etc/crontab ファイルによって起動されるもの（/etc/cron.daily といったディレクトリの下にあるファイルの実行を含む）の場合、「PATH=/sbin:/bin:/usr/sbin:/usr/bin」となっています。

ディストリビューションに付いてきている mysql であれば問題ないと思うのですが、ソースからビルドして /usr/local/bin の下に mysqldump があるような場合、PATH が通っていなかったり、LD_LIBRARY_PATH が不足していると、実行に失敗する事になります。

ちなみに、手元の CentOS 6.2 でユーザの cron 設定（crontab -e とかで作る設定）の時の環境変数は下記の通りでした。

SHELL=/bin/sh
USER=july
PATH=/usr/bin:/bin
PWD=/home/july
SHLVL=1
HOME=/home/july
LOGNAME=july
_=/usr/bin/env

この結果は、下記のような crontab の設定をすると得られます。

 * * * * * env >/tmp/env

設定を放置すると、毎分 /tmp/env というファイルを書き込みに行くので、/tmp/env の中身を確認したら、上記設定を外すことをお忘れなく。

ということで、一度、環境変数を確認する事をおすすめします。

ダンプしているディレクトリのパーミッションを確認してみてはいかがでしょうか。
具体的にはcronを実行しているユーザが書込みできるかどうかです。