雇用保険の手続き（求職の申込み）について、詳しい方ご回答お願いいたします。

退職されて離職票を受け取ったら、その日のうちにでも職安に行く事をおすすめします。

雇用保険の受給期間は、失業日の翌日から１年間です。
（日数は細かく規定があります）
退職後、のんびりしてから職安に行ってもいいですが、その分
雇用保険をもらえるのが遅くなります。

質問を見ていると会社都合の退職のようですが
もし仮に自己都合退職だとすると、３ヶ月待つ必要もあります。

https://www.hellowork.go.jp/insurance/insurance_procedure.html
>なお、基本手当を受けられる期間は、原則として離職の翌日から1年間です。
>（これを過ぎると、所定給付日数の範囲内であっても基本手当が受けられませんので、ご注意ください）。



それとアルバイトに関してはよく分かりませんが、
それはすでに失業状態とは言えなくなってしまうのでは？
退職後、職安での手続きまでの期間のアルバイトについてはよく分からなかったです。
（黙ってればばれないし分からないとも思うけれど）
職安の、雇用保険関係のページはこちらです。
https://www.hellowork.go.jp/insurance/insurance_guide.html

離職票が届いたらすぐにハローワークに行ったほうがよいです。
ハローワークに最初に行くまでの、バイトは大丈夫です。

http://www.hat.hi-ho.ne.jp/heart_thoughts/t/work.htm

職安にて雇用保険の手続き（求職の申込み）を行うまでの間、アルバイトは何日していても問題ないのでしょうか？

問題ありません。
アルバイトをしている期間は就業している（失業していない）と見なされます。

倒産や人員整理などによる解雇や定年退職で離職した場合は、待機期間の翌日から支給対象となりますが、正当な理由のない自己都合退職や重責解雇などによる離職の場合はさらに３か月の給付制限期間を経過してから支給の対象となります。

アルバイトの期間は、失業給付の対象になっていないので、特に問題は無いと思います。
給付期間および実際の日にちを確認した方が良いです。
アルバイトの期間は通常外されるので、アルバイトの期間を含んで給付を受けていると、アルバイトしたことがばれた場合、あとで問題になるかもしれません。

職安の方に問い合わせをしてみた所、質問者様の言われている「職安にて雇用保険の手続き（求職の申込み）を行うまでの間、アルバイトは何日していても問題ないか？」という点に関しては、何日しても問題ないとのこと。

ただし、失業給付は一年以内に給付が終わるようにしないといけない為、給付となる日数と照らし合わせる必要があります。

また、申込み前だからといって逸脱したアルバイトは良くありません。常識の範囲内で行ってください。例えば11月1日～9日まで毎日9時間アルバイトをすれば端から見た場合、就業していると見られてもおかしくありません。

職安にて疑いの声を掛けられても反論できないでしょうね。