a,bは互いに素である自然数(1以上の整数とする)としたら、

a+b,aも互いに素である自然数になりますか?証明も出来たらお願いします。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:
  • 終了:2012/10/06 08:32:26

ベストアンサー

id:matryosika No.1

回答回数36ベストアンサー獲得回数14

なります。証明は下の通りです。

proof
a,bは互いに素な数であるとする。・・・①
このとき、a,a+bが互いに素ではないと仮定し論証を進めていく。
互いに素ではない二数は共通因数を持つので、
a=su,a+b=tu s,tは互いに素な数、uは共通因数・・・②
と表すことができる。
このとき、②より、
b=tu-a=tu-su=(t-s)u
となり、bはa=suと共通因数uを持つことになる。
しかし、これは、前提である①に反してしまい、「a,a+bは互いに素ではない」という仮定が間違っていることになる。
故に、a,bが互いに素ならばa,a+bも互いに素になる。
Q.E.D.

この証明では背理法を使っています。

コメントはまだありません

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

回答リクエストを送信したユーザーはいません