アメリカの大手翻訳会社からはじめて校正（英→日）の依頼が来たのですが、

私は仕事柄、英文の校正を米国内の校正会社によく依頼します。
今迄５社程利用しましたが、何れの社も当たり前の様に
MS-WordのTrack Revision機能を使用してましたよ。注釈は勿論英語です。

私自身は日本国内の英文校正サービスに依頼したことはありませんが
仕事仲間に聞いた話では、ネイティブ英語話者と
英語に精通した日本人でダブルチェックをする様な会社では、
日本語による解説付き注釈を入れてくれるところもあるそうです。

ご質問者の今回のケースでは、日米の関係が逆にはなっていますが、私が
冒頭に記したものに相当しますよね。
ご質問者様(あるいは会社)がどの様なサービスを提供されていらっしゃるか
判りませんが、翻訳に関連する業務をされていらっしゃないのであれば
「日本語としておかしいところは日本語で説明する必要があると思う」
という主張で押し通すことは間違いでないと思いますし
英語での注釈がどうしても欲しいなら、先方が
そういうサービスを提供してくれる会社を選んでおくべきなのです。
もし、貴方(の会社)が翻訳に関連する業務もなさっているのであれば
追加料金を設定した上で、日本語で注釈すべきところを英語に変更することも
考慮されてもみても良いかと思いますが、いかがでしょうか。