家族に内緒で新生銀行の口座を開設しようと思っております。

それ口座開設するときに窓口で尋ねたほうがいいんじゃないのかしら。
まずカードは申し込みはその場でできてもカード自体は後日郵送（書留ではんこついてうけとる）が前提だと思います。特にメガバンクのクレジット機能つきキャッシュカードはクレジット機能の更新のため５年ごとにうけとりがあるはず（それで一度痛い目を見ました）


また、口座つくると保険の案内のDMとかはけっこう来ます。
ダイレクトメールだけなら、個人情報法第２１条だかなんとかオフ制度だかというので止めてくれるはずですが、カードがとどくとこまるので口座つくりませんよといっても、普通のメガバンクなら「ではご勝手に」としかいってくれないとおもう。
新生は違うとわかったらコメントください。

新生銀行の問い合わせで質問すると良いのではないかなと思います。
http://www.shinseibank.com/sonota/
新生銀行の口座は持っていますが。
口座開設はかなり昔で最近使ってないので
はっきりとは言えないです。

過去に口座の状況(入出金の報告)の葉書が来たことありますので
(その他の連絡もあったと思いますので)
秘密には出来ないだろうと思います。