絶対音感の定義を教えてください。

机を叩いた音の音高（音程とは二つの音の高さの違いのこと）がわかるかどうか、というのはあまりあてにはできません。というのも机を叩いてもドレミファ・・・といった楽音の音にぴったり当てはまるわけではないからです。それでもソより４分の１ぐらい高いソ、というように認識できる人もいます。そうなると精度の問題です。

ピアノの先生の真意は多分、机を叩いた音とは一つの例であって、楽器の音でなくても、一定の音高であるならそれをどの音（ミとかシ♭とか）か、と理解できることをいっているのでしょう。
長く同じ楽器を使っていると、体が覚えているのでもともと絶対音感がなくてもある種の楽器の音であれば音高がわかる、ということがあります。
そうではなく、どのような音であっても、音高を認識できること、ということで定義したいのでしょう。

ピアノの先生の言う絶対音感は狭義の絶対音感で、あなたの持っている音感も絶対音感といえるものです。

程度問題であることは、全く絶対音感がない状態を考えてみるとわかります。
男性と女性の声は大まかにいって女性のほうが高い音で男性は低い音です。
絶対音感が全くない場合、人の声だけを聴いて、男性だ、女性だ、と判断はできません。（女性と子供の区別はまた別）　高さの違いを認識できないのですから。
つまり精度の差こそあれ、誰でも絶対音感はもっているのです。
しかし半音の精度で区別できるようになって、絶対音感を持っている、ということにしているのが現実です。