夫婦で国民年金に加入していましたが夫が厚生年金に加入出来る会社に転職しました。この場合私の国民年金は払い続けるのでしょうか？厚生年金に加入すべきか迷っています。どなたか教えて下さい。

妻の収入次第です。
月約108千円（年130万円）以下の収入なら、夫の扶養に入れます。夫に余分な保険料はかからず、妻が従来入っていた国保・国民年金の支払いが不要になります。
保証としても国保・国民年金より若干よくなります。
夫の会社で全ての手続きをするはずですが。

厚生年金に加入できるのは働いている社員だけですので、質問者の方はご自身が転職、就職しない限り厚生年金に加入することはできません。
変化があるのは、質問者の方が専業主婦などで、夫の扶養に入っている場合です。この場合、質問者の方は国民年金の3号被保険者となり、保険料がゼロになります。
手続きは、自分で社会保険事務所に行って3号資格取得届を出すのが普通ですが、会社が手続きを行ってくれる場合もあります。まず新しい会社に確認してみてください。
もし質問者の方が自営業などで一定の収入があり、扶養に入っていないのであれば、何も変化はありません。