ACCESSでローカルに作成したデータベースを

すべてをOffice365上で完結することは出来ませんが、
データをOffice365上に保存しておいて、
パソコンのAccess2010/2013からデータ操作することなら出来ます。

データ移行方法は下記参照。
http://office.microsoft.com/ja-jp/web-apps-help/HA102610172.aspx
Access2013の機能概要については下記参照。
http://office.microsoft.com/ja-jp/access-help/HA102809500.aspx

※安定した利用には高速な回線（光が望ましい）が必要です。
※快適な利用にはデータベースの設計や利用に慣れたオペレータが必要です。
　（下手なクエリを喰わせると時間ばかりがかかることになります。）
※データの保全性やセキュリティについてはいまのところ未知数なので、
　バックアップ体制を別に整え、重要なデータは暗号化するなどの措置も必要でしょう。