クイズで4択の問題があって、1グループあたり6人ずつをひとまとめにしたグループが10あります（全部で60人いる）。各参加者が正解を選択できる確率は1/4と仮定します。グループ対抗で正答率（6人中何人が正解したか）が最も高いグループを勝ちとします。
2つ以上のグループが同率一位に並ぶ確率というのは、以上の条件から計算できるのでしょうか？計算の過程も含めて教えていただけましたら幸いです。
（選択肢を5つ、6つと増やしていけば、その確率は小さくなると思うのですが、そのあたりを定量的に判断したいなと思っているためです）
No.2
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2
50pt
6人正解が2グループの確率、6人正解が3グループの確率…と場合の数を数え上げていけば確率は出せます。出せますけど途中で飽きたのでシミュレーションしてみました。言語はRです。
group_no_seikaininnzuu <- function(){
x <- sample(c("t","f"), 6, replace = T, prob = c(1/4, 3/4))
return( length(x[x=="t"]) )
}
itii_ninzuu <- function(){
x <- replicate(10, group_no_seikaininnzuu())
return( length( x[x==max(x)]) )
}
x <- replicate(100000, itii_ninzuu())
length(x[x>1])/length(x)
結果は0.46432で46%前後というところでしょうか。
誕生日のパラドックスもそうですがこういうのは意外に確率が高くなりますね。
選択肢を増やした場合ですが
選択肢の数：同率一位の確率
1択:100%、2択：48%、3択：45%、4択：46%、5択：47%、6択：49%、7択：50％
逆に選択肢が増えた方が同率が増えます。
選択肢を増やすと正答一人が2グループと言う状況が増えるためだと思われます。
No.1
4907910
50pt
クイズというのは普通は考えて答えるのですが、
正答率１／４というのはヤマカン、４面サイコロを振っているのと同じ状態ですね。
１問やれば期待値は、１グループにつき１．５人は正答を出しますがここでは関係ないですね。
６人全員が正解の確率は１／４の六乗で、１／４０９６、0.024％です。以下分母同じで、
５人 1８ （0.43％）、
４人 １３５ （3.29％）、
３人 ５４０ （13.18％）、
２人 １２１５ （29.66％）、
１人 １４５８ （35.59％）
０人 ７２９。（17.79％）
（分子は３のｎ乗に6Cｎをかけている）
括弧内が予想できる分布率になってるとおもいます。
これを１０チームでやるので分布率に１０倍かけてやるといいですが面倒なので１０％が１チームとおぼえてください。
上から１０％で区切れるのはどこらあたりかとみていきますと、
まず４～６人正解までの確率が3.75％。３回繰り返すと１０チーム中１チームが４人正解を達成することがある程度。６人正答という事態は４００問のクイズをくりかえすまでに一度あるかどうか。
で、３人もふくめた６人～３人正解までの合計確率がいきなり16.8％。３人正解だけで１３％の分布を持っている（１０％を超えている）ので、３人正解の２チームが同率一位をわけあう事態が３回に１回くらいは発生しそうです。
それより下位のチームは、２人正解チームが各回平均３チーム（同率３位）、１人正解チームが３チームか４チーム（同率６位）、だれも正解しなかったチームも１チームか２チーム（同率９位）。というふうに順位がつけづらいくらいのおだんごになるでしょう。
もしヤマカンになるような難しいクイズなのなら３択や２択に減らしたほうがよさそうですね。
普通はもっと正解率があがるので上方にばらけるとおもいます。
なぽりんさんもいつも迅速なご回答をいただき、大変助かります。ありがとうございます。私は事象の数を調べて確率を出すところから、分布を見るあたりまでの知識がつながっていなかったのでなぽりんさんのご回答もとても参考になりました。ありがとうございます。
No.2
102
ここでベストアンサー
50pt
6人正解が2グループの確率、6人正解が3グループの確率…と場合の数を数え上げていけば確率は出せます。出せますけど途中で飽きたのでシミュレーションしてみました。言語はRです。
group_no_seikaininnzuu <- function(){
x <- sample(c("t","f"), 6, replace = T, prob = c(1/4, 3/4))
return( length(x[x=="t"]) )
}
itii_ninzuu <- function(){
x <- replicate(10, group_no_seikaininnzuu())
return( length( x[x==max(x)]) )
}
x <- replicate(100000, itii_ninzuu())
length(x[x>1])/length(x)
結果は0.46432で46%前後というところでしょうか。
誕生日のパラドックスもそうですがこういうのは意外に確率が高くなりますね。
選択肢を増やした場合ですが
選択肢の数：同率一位の確率
1択:100%、2択：48%、3択：45%、4択：46%、5択：47%、6択：49%、7択：50％
逆に選択肢が増えた方が同率が増えます。
選択肢を増やすと正答一人が2グループと言う状況が増えるためだと思われます。
御礼申し上げるのが遅くなり申し訳ありません。R でのシミュレーションの式を教えていただけて助かりました。今後のステップとして参考にしたいと思います。また選択肢を増やすと同率が増えるというのも私自身の直感とは逆の結果になり、大変興味深いと思いました。ありがとうございます。
大抵のクイズ番組が早押しなのも同率を避ける工夫なのかもしれません
きゃづみぃ
2013/10/10 21:01:21
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御礼申し上げるのが遅くなり申し訳ありません。R でのシミュレーションの式を教えていただけて助かりました。今後のステップとして参考にしたいと思います。また選択肢を増やすと同率が増えるというのも私自身の直感とは逆の結果になり、大変興味深いと思いました。ありがとうございます。
2013/10/18 18:36:33大抵のクイズ番組が早押しなのも同率を避ける工夫なのかもしれません
2013/10/20 00:09:10