Mac OS X 10.9（Mavericks）で、safari5 or 6 をインストールする方法を教えてください。

「開発」→「ユーザーエージェント」から変更できないでしょうか？
※「開発」メニューが表示されていない場合は、設定で変更できます。(「環境設定」を開いて「詳細」セクションで「メニューバーに'開発'を表示」にチェックを入れます。)

・Safariメニューバーに開発メニューを表示する方法
http://pc-karuma.net/safari-menu-development/


※ユーザーエージェントの偽装で上手くいかない場合は、Firefoxなど別のブラウザをインストールして試してみてはいかがでしょうか？
ほとんどのサイトはIEとFirefoxに対応していますので、問題なく利用できるかもしれません。

早速試してみした。safari 6.1として、研修サイトにログインしようとしましたが、safari 7だとして、拒絶されてしまいました。※念のため、設定変更後、safari7を再起動後にログインを試してみましたがダメでした。

それではやはり別のブラウザで試してみるしかないと思います。
何の研修サイトなのか不明ですが、Safariだけに対応させている理由は特に思いつきませんし、他のブラウザにも対応しているのではないかと思います。
後は、直接問い合わせて対応してもらってはいかがでしょう？
新しいバージョンにもその内対応されるのかもしれませんが、報告した方が対応が早いと思います。

開発メニューからのUserAgentの書き換えはそのウィンドウ（タブ）のみで有効だと思いますが、その点はOK？
つまりSafariを再起動させたらその時点でまたデフォルトの状態に戻っているはずなので、再度開発メニューからUserAgentを変更し、そのまま同じウィンドウからアクセスしてやる必要があると思いますが。

はい。再起動後、再度開発メニューからUserAgentを変更し、そのまま同じタブからアクセスしております。

firefoxでUser Agent=IE8とすることで、ログインできました。しかし、ログイン後に「WindowsMediaPlayerアドインが有効になってません」とのエラーがでて使用できません。Flip4macをインストールしましたが、ダメでした。

Firefoxにも対応していなかったという事でしょうか？(※IEとSafariのみ対応)
FirefoxでIEのユーザーエージェントに偽装しても、mozillaエンジンによる処理は変わりませんので、IE用のコードは処理できないのだと思います。
やはりサポートに問い合わせた方がいいと思います。
研修用なのでしたら、対応してもらえるのではないでしょうか。
最新のMacの利用者にも対応した方がいいはずですし・・・

コメントありがとうございます。
研修システムは、下記のみ対応とマニュアルに記載があります。
　Windows →　IE6, IE7, IE8, IE9, IE10
　MacOSX →　Safari5, Safari6
仰るとおり、対応してもらうことが最善なのですが、きっと対応に時間かかると思うので。。。

もしかして、研修システム内で新たにウィンドウを開くので、そちらにユーザーエージェントが適用されていないのかもしれません。ユーザーエージェントを固定する方法はあるのでしょうか？

ターミナルで次のコマンドを入力すると変更できるようです。(※未確認)

defaults write com.apple.Safari CustomUserAgent "\"任意のユーザーエージェントの文字列\""


・mac safariのユーザエージェントをデフォルトでiPhoneにする
http://atsdesign.us/blog/2012/12/mac_safariiphone.html

・Safari4 デフォルトのUserAgentを変更してみた
http://www.gamekozo.com/archives/935


※「ユーザーホーム/Library/Preferences/com.apple.Safari.plist」を変更しているのだと思います。
「defaults」コマンドについては以下のページ等を参考にしてみてください。

・defaults(1) OS X Man Pages
https://developer.apple.com/library/mac/documentation/Darwin/Reference/ManPages/man1/defaults.1.html

・Macの隠し機能を有効にする
http://allabout.co.jp/gm/gc/2978/

・Macギークなら知っておきたいdefaultsコマンドの使い方
http://tukaikta.blog135.fc2.com/blog-entry-209.html

defaultsコマンドでsafari6に固定することで、Web研修サイト、動きました！
rouge_2008様、ありがとうございました！！

なお、safari6に固定は下記コマンドで設定しました。同じ悩みの方はお試しください。

defaults write com.apple.Safari CustomUserAgent "\"Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10_9) AppleWebKit/537.71 (KHTML, like Gecko) Version/6.0 Safari/537.71\""