９でわって６余り、１１でわると３余る数のうち、最も小さい整数は（解答＝６９）です。の解説で、
９でわって６余る数をいくつか書き出すと、 ６，１５，２４、、
１１でわると３余る数をいくつか書き出すと ３，１４、２５、、
なので、
（１５－３）÷（１１－９）＝６
３たす１１×６＝６９ （足す の 文字記号が文字化けします すいません）
こたえ ６９。とありましたが、その意味が分かりません。小学生レベルでどうぞよろしくお願いします。剰余の定理を使って説明いただいても結構ですが、恐縮ですが mod などは用いずに説明してください。多少の記号、a,b,c やｘ、ｙなら大丈夫です。
No.2
９で割ると６あまる数をみていくと６（＝０×９＋６）。１５（＝１×９＋６）。
つまり正解はｎ×９＋６であるという表し方が一つ。
同様に１１で割ると３余る数はｍ×１１＋３である。
これは同じ目標についての表現なので、ｎ×９＋６＝ｍ×１１＋３ですが移項は小学校でならわないから今はおいておきます。
さらに９でわって６余る数をいくつか書き出すと、 ６，１５，２４、どれも３の倍数である。（９と６だから当然ですね）
１１でわると３余る数をいくつか書き出すと ３，１４、２５、だが、めったに３の倍数は出てこない。
めったに出てこないなかで、最初にでてくる３の倍数であるのは１１ｍ＋３のｍがゼロである場合、つまり３である。
そして１１は９より２だけ大きくステップを踏んで進むので、最小のｍやｎを求めるにあたっては、ｍとｎの間には、ｍ＋１＝ｎという関係が成り立つと考えられる。（あと９と１１が互いに素だしね）
１１ｍ＋３のｍがゼロだったので、ｎはｍより１つおおきい１を採用して１５をサンプルにとる。
あとは（１５－３）÷（１１－９）＝６ ということで何ステップで差を埋めておいつけるかを求めたら６でしたよと。
最後に、ステップ後の立ち位置を算出する。今回は１１側から余り３＋１１×６（ステップ）＝６９と算出できた。
９側のルートなら、（６＋１ステップ）×９＋６余りが答えで、どちらにせよ６９。
ステップが１違うだろうという予測ができれば３の倍数とかいらないんですかね。これ。
No.1
その数をxと置くと、９でわって６余りなので
x = 9×a + 6 (aは自然数)
１１でわると３余るので
x = 11×b + 6 (bは自然数)
よって
9a+6 = 11b+3
となります。
ここから
b = ( 9a + 3 )/11
となります。
bはなるべく小さい自然数なので、一から順番に試します
1 = ( 9a + 3 )/11 → a = 8/9 (自然数にならないので×）
2 = ( 9a + 3 )/11 → a = 19/9 (自然数にならないので×）
（省略）
6 = ( 9a + 3 )/11 → a = 63/9 = 7 (自然数になので○）
x = 9×a + 6 , a = 7 より
x = 9×7 + 6
= 63 + 6
= 69
以上。
・・・ちょっと苦しいかなｗ
早速に、わかりやすい解説ありがとうございます。文字式も難しいものではなく、少し変形して、整数条件から絞り込めば解けるのですね。ありがとうございました。 ただ、解説書の解き方については、どういう意味なのかが、わからないので、もしそちらもわかればお教えください。
No.2
ここでベストアンサー
９で割ると６あまる数をみていくと６（＝０×９＋６）。１５（＝１×９＋６）。
つまり正解はｎ×９＋６であるという表し方が一つ。
同様に１１で割ると３余る数はｍ×１１＋３である。
これは同じ目標についての表現なので、ｎ×９＋６＝ｍ×１１＋３ですが移項は小学校でならわないから今はおいておきます。
さらに９でわって６余る数をいくつか書き出すと、 ６，１５，２４、どれも３の倍数である。（９と６だから当然ですね）
１１でわると３余る数をいくつか書き出すと ３，１４、２５、だが、めったに３の倍数は出てこない。
めったに出てこないなかで、最初にでてくる３の倍数であるのは１１ｍ＋３のｍがゼロである場合、つまり３である。
そして１１は９より２だけ大きくステップを踏んで進むので、最小のｍやｎを求めるにあたっては、ｍとｎの間には、ｍ＋１＝ｎという関係が成り立つと考えられる。（あと９と１１が互いに素だしね）
１１ｍ＋３のｍがゼロだったので、ｎはｍより１つおおきい１を採用して１５をサンプルにとる。
あとは（１５－３）÷（１１－９）＝６ ということで何ステップで差を埋めておいつけるかを求めたら６でしたよと。
最後に、ステップ後の立ち位置を算出する。今回は１１側から余り３＋１１×６（ステップ）＝６９と算出できた。
９側のルートなら、（６＋１ステップ）×９＋６余りが答えで、どちらにせよ６９。
ステップが１違うだろうという予測ができれば３の倍数とかいらないんですかね。これ。
何度もご親切にありがとうございます。確かに「3の倍数云々」は、この解き方をする場合には特別関係はなさそうですね。他の数字の場合でも、試してみましたが、このやり方で解けました。 ただ、補足で仰っているように「どのペア」に着目するのか、というのがポイントになるのでしょうね。着目するペアを間違えると（補足のようの ３ と ６ をペアとしてしまうと）うまくいかなくて、適切なペアで考えるようにすると（最初のご説明のように ３ と １５ のペアで考えるようにする）うまくいくのですね。
ありがとうございました。解答集の解き方についての説明をわかりやすくしていただいたので、こちらをベストアンサーとさせていただきました。
No.3
中学受験だと思うと、模範解答の解き方って、あまり良くないですよね。
「９でわって６余り」で、求める数字が３の倍数だ、ということに気が付いて、「１１でわると３余る数」が３の倍数になるときは、１１にかける数字が３の倍数じゃなくちゃいけない、というところにたどり着く。
１１にかける数字を、０、１、と試してみると
・１１×０＋３＝３ ・・・ ９でわって余り３
・１１×３＋３＝３６ ・・・ ９でわって余り０
・１１×６＋３＝６９ ・・・ ９でわって余り６ これだ！
って、ことじゃないかな。
直接の回答じゃなくて、ごめんなさい。
ご親切にありがとうございます。一番確実なのは、それぞれ順番に７～８個書き出していけばやがては解答にたどり着くのだろうと思います。 「９でわって６余り」で、求める数字が３の倍数・・ に気がつけば、この作業がかなり短縮されるということで、よく分かりました。 模範解答は、小学生レベルからすると、少しテクニック駆使（？）ということなのかもしれませんね。 色々な考え方を教えてもらい、大変参考になりました。
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何度もご親切にありがとうございます。確かに「3の倍数云々」は、この解き方をする場合には特別関係はなさそうですね。他の数字の場合でも、試してみましたが、このやり方で解けました。 ただ、補足で仰っているように「どのペア」に着目するのか、というのがポイントになるのでしょうね。着目するペアを間違えると（補足のようの ３ と ６ をペアとしてしまうと）うまくいかなくて、適切なペアで考えるようにすると（最初のご説明のように ３ と １５ のペアで考えるようにする）うまくいくのですね。
2014/08/01 08:38:38ありがとうございました。解答集の解き方についての説明をわかりやすくしていただいたので、こちらをベストアンサーとさせていただきました。
2014/08/04 13:09:29