（問１）ゾロ目の平方数は存在するか？
（問２）ゾロ目の素数は，１１以外に存在するか？
※ただしゾロ目とは，１０進数で表記した際に，
全ての桁が同じ数であるような２ケタ以上の自然数を言う。
また平方数とは，ある自然数の２乗であるような数のことを言う。
No.1
4489
434
ぞろ目の数の一般項は、m=1～9、n≧2の整数として、次式で表すことが出来る。
…(1)
（問１）
100を法として、平方数の合同数は、以下の通り。
1,4,9,16,25,36,49,64,81,0,21,44,69,96,25,56,89,24,61,0,41,84,29,76,25,
76,29,84,4,1,0,61,24,89,56,25,96,69,44,21,0,81,64,49,36,25,16,9,4,1,0,…(循環)…
よって、44以外の、11～99と合同な平方数は存在しない。
また、44(m=4)のときも、(1)式から
となって、結局、m=1の場合(レピュニット)に帰着されて存在しない。(^_^;
（問２）
(1)式から、m=1以外のときは約数をもつので駄目。よって、題意のゾロ目は、レピュニットになるはず。
下記URLによると、n=19,23,317,1031,…らしい。(^_^;
●レピュニット
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%88
lang_and_engine
2015/02/04 13:29:41
1
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1
1
1
1
1
14
12
なぽりん
参考文献URL付で回答してくださり，ありがとうございます。
2015/02/04 13:21:36有用な情報を提供してくださったので，感謝の気持ちで，さきほど５０ポイント送信しました。
問１ですが，根気強く循環を見つけ出す作業はとても大変だったと思います。
循環を見つけ出す部分は，どうやらもっとスマートに論述できるようです。
何かもっと小さい，できれば１ケタの数を法とした剰余で，平方数を分類し
ゾロ目になれないことを示せるようです。
ありがとうございます。m(_ _)m
2015/02/04 17:03:24a≧0,0≦b≦9の整数とすると、
(10a+b)^2 Mod 100=(100a^2+20ab+b^2) Mod 100=(20ab+b^2) Mod 100
ここで、a=5n+c(n≧0, 0≦c≦4の整数)とおくと、
(20ab+b^2) Mod 100={20(5n+c)b+b^2} Mod 100=(100n+20bc+b^2) Mod 100=(20bc+b^2) Mod 100
となり、0≦b≦9,0≦c≦4の整数だから、50個位で循環するようです。
受験生じゃないから、Pythonで計算したので楽でしたが、まぁ、確かに受験生だと50個も計算するのは大変でしょうね。(^_^;