トルクメニスタン共和国（トルクメン共和国）という名前ですが、トルコに関係あるような名前です。なにか関係、民族的関係、歴史的関係があるのでしょうか。

なんとかスタンという名前の国がたくさんあります。
トルクメニスタン、キルギスタン、カザフスタン、ウズベキスタン等々

スタンとは、～～人（民族）の国、という意味があり、
そこに、トルクメン人（民族）がすんでいるという意味です。
中国新疆ウイグル自治区から、中央アジア一帯は
色々な少数民族が住んでいます。
その中の一つの民族ですね。

トルコと音は似ていますが、
始祖が一緒とか、人種が、ということではないと思いますよ。

テュルク系民族 というくくりで遠い親戚みたいなもの、というか、ルーツは共通なのかな、と思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%A5%E3%83%AB%E3%82%AF%E7%B3%BB%E6%B0%91%E6%97%8F