午の日、とは何でしょうか。

干支（えと）の午ですよ。
wikipedia:干支
干支は暦の一種ですが、太陽を基準とした太陽暦とも、月の満ち欠けを基準とした太陰暦とも異なります。

五行（木火土金水）のうしろに「え」と「と」を付けて、き（木）のえ、きのと、ひ（火）のえ、ひのと、…と呼ぶのが十干（じっかん：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸）。

それにあなたもよく知っているであろう、十二支（じゅうにし：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥）。

両方を合わせて六十干支（ろくじっかんし）と呼びます。60は10と12の最小公倍数で、十干と十二支の全ての組み合わせを表しています。60歳が還暦と呼ばれるのも、干支の組み合わせが60年で1周するからです。

そして、年の干支だけでなく、日の干支というのもあるという事です。不勉強なもので、どのように決まるかまではちょっとわかりません。
http://koyomi8.com/9reki/oton.php

現代では主に、易学で事始めの時期を決定したりするのに使われます。もし詳しく調べたいのであれば、↓のように、お正月前後に本屋で普通に売っています。
http://suzuran-kigyo.co.jp/miyawaki/news/584.html