数学の問題について

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UTX

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学習・教育

数学の問題について

以下のような問題の答えがどうしても合いません。
どこが間違っているかご指摘お願いいたします。

(問題にtex形式が使えなかったので追記にかいておきます)
(解答の日本語が伝わりにくいかもしれません…)

回答の条件

1人5回まで

登録：2015/04/12 02:37:57
終了：2015/04/12 09:28:31

質問者から

UTX2015/04/12 10:50:47

【問題】

点 $P_{n}$ の座標 $\left( x_{n},y_{n}\right)$ と $P_{n+1}$ の座標 $\left( x_{n+1},y_{n+1}\right)$ との間に次の関係がある。

$x_{n+1}=\frac{2}{3} x_{n}+\frac{1}{3} y_{n}\cdots (1), y_{n+1}=\frac{1}{2} x_{n}+\frac{1}{2} y_{n}\cdots (2)$

nが限りなく大きくなるとき点 $P_{n}$ の近づく座標をx0,y0で表せ

【私の解答】

(2)より

$x_{n}=2y_{n+1}- y_{n}, x_{n+1}=2y_{n+2}- y_{n+1}$ より、(1)の式

$3x_{n+1}=2x_{n}+y_{n}$

に代入し、

$6y_{n+2}=7y_{n+1}-y_{n}$

↔ $y_{n+2}-y_{n+1}=\frac{1}{6} \left( y_{n+1}-y_{n}\right)$

従って

$y_{n+1}-y_{n}=\frac{1}{6} \left( y_{n}-y_{n-1}\right)$

・

$y_{n+1}-y_{n}=\left( \frac{1}{6} \right) ^{n}\left( y_{1}-y_{0}\right)$

ここで、

$y_{1}=\frac{x_{0}}{2} +\frac{y_{0}}{2}$ なので

$y_{n+1}-y_{n}=(\frac{x_{0}}{2} -\frac{y_{0}}{2} )\left( \frac{1}{6} \right) ^{n}$

よってzn=yn+1 - yn とすると、

$y_{n}=y_{0}+\sum \limits^{n}_{k=1}z_{n}$

計算し、

$y_{n}=y_{0}+\frac{1}{5}\frac{x_{0}-y_{0}}{2} \left( 1-\left( \frac{1}{6} \right) ^{n}\right)$

これを $x_{n}=2y_{n+1}- y_{n}$ に代入し、

$x_{n}=2y_{0}+\frac{2}{5} \frac{x_{0}-y_{0}}{2} \left( 1-\left( \frac{1}{6} \right) ^{n+1}\right) -y_{0}+\frac{1}{5} \frac{x_{0}-y_{0}}{2} \left( 1-\left( \frac{1}{6} \right) ^{n}\right)$

従ってn→∞のとき

$x_{n}\to \frac{x_{0}+9y_{0}}{2} , y_{n}\to \frac{x_{0}+9y_{0}}{2}$

∴

$\left( \frac{x_{0}+9y_{0}}{2} , \frac{x_{0}+9y_{0}}{2} \right)$

【解答】

$\left( \frac{3x_{0}+2y_{0}}{5} , \frac{3x_{0}+2y_{0}}{5} \right)$

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No.1

tea_cup10701942015/04/12 04:53:57

Xnを求めるところで1/5がなくなっているのが変では?

御回答ありがとうございます

2015/04/12 09:24:15

UTX 2015/04/12 02:39:48

書き忘れました
↓
n=0,1,2,……

数学メモ - 連立漸化式をWolfram Alphaで自動的に解く 2015-04-14 13:33:26

連立漸化式をWolfram Alphaで自動的に解く連立漸化式を，Web上の計算フォームを使って自動的に解いてみよう。問題：下記の漸化式を解き，ｎ→∞での極限を求めよ。x(n+1) = 2/3 * x(n) + 1/3 * y(n)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

リクエスト送信済

回答リクエストを送信したユーザーはいません

rsc · Accepted Answer · 2015-04-12T08:10:52+09:00

　 $y_n$ が間違ってます。(^_^;
　3項間の漸化式を導いたとこまではあっているので、
　 $y_n=A+B ￥frac{1}{6^n}$ とおいて、
　 $y_0=A+B$
　 $y_1=A+￥frac{1}{6} B$
から、係数A,Bを求めてみましょう。
　ちなみに、特性方程式の解をα,βとすると、
$y_n=￥frac{￥left(y_1-￥alpha y_0￥right)￥beta^n-￥left(y_1-￥beta y_0￥right)￥alpha^n}{￥beta-￥alpha$

rsc · Accepted Answer · 2015-04-12T08:10:52+09:00

　 $y_n$ が間違ってます。(^_^;
　3項間の漸化式を導いたとこまではあっているので、
　 $y_n=A+B ￥frac{1}{6^n}$ とおいて、
　 $y_0=A+B$
　 $y_1=A+￥frac{1}{6} B$
から、係数A,Bを求めてみましょう。
　ちなみに、特性方程式の解をα,βとすると、
$y_n=￥frac{￥left(y_1-￥alpha y_0￥right)￥beta^n-￥left(y_1-￥beta y_0￥right)￥alpha^n}{￥beta-￥alpha$

数学の問題について

質問者から

ベストアンサー

rsc44894342015/04/12 08:10:52

その他の回答（1件）

tea_cup10701942015/04/12 04:53:57

rsc44894342015/04/12 08:10:52ここでベストアンサー

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