数学の問題について

以下のような問題の答えがどうしても合いません。
どこが間違っているかご指摘お願いいたします。

(問題にtex形式が使えなかったので追記にかいておきます)
(解答の日本語が伝わりにくいかもしれません…)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:
  • 終了:2015/04/12 09:28:31
id:Tomoya530

質問者から

UTX2015/04/12 10:50:47

【問題】

P_{n}の座標\left( x_{n},y_{n}\right) P_{n+1}の座標\left( x_{n+1},y_{n+1}\right)との間に次の関係がある。

x_{n+1}=\frac{2}{3} x_{n}+\frac{1}{3} y_{n}\cdots (1), y_{n+1}=\frac{1}{2} x_{n}+\frac{1}{2} y_{n}\cdots (2)

nが限りなく大きくなるとき点P_{n}の近づく座標をx0,y0で表せ

【私の解答】

(2)より

x_{n}=2y_{n+1}- y_{n}, x_{n+1}=2y_{n+2}- y_{n+1}より、(1)の式

3x_{n+1}=2x_{n}+y_{n}

に代入し、

6y_{n+2}=7y_{n+1}-y_{n}

y_{n+2}-y_{n+1}=\frac{1}{6} \left( y_{n+1}-y_{n}\right)

従って

y_{n+1}-y_{n}=\frac{1}{6} \left( y_{n}-y_{n-1}\right)

y_{n+1}-y_{n}=\left( \frac{1}{6} \right) ^{n}\left( y_{1}-y_{0}\right)

ここで、

y_{1}=\frac{x_{0}}{2} +\frac{y_{0}}{2} なので

y_{n+1}-y_{n}=(\frac{x_{0}}{2} -\frac{y_{0}}{2} )\left( \frac{1}{6} \right) ^{n}

よってzn=yn+1 - yn とすると、

y_{n}=y_{0}+\sum \limits^{n}_{k=1}z_{n}

計算し、

y_{n}=y_{0}+\frac{1}{5}\frac{x_{0}-y_{0}}{2} \left( 1-\left( \frac{1}{6} \right) ^{n}\right)

これをx_{n}=2y_{n+1}- y_{n}に代入し、

x_{n}=2y_{0}+\frac{2}{5} \frac{x_{0}-y_{0}}{2} \left( 1-\left( \frac{1}{6} \right) ^{n+1}\right) -y_{0}+\frac{1}{5} \frac{x_{0}-y_{0}}{2} \left( 1-\left( \frac{1}{6} \right) ^{n}\right)

従ってn→∞のとき

x_{n}\to \frac{x_{0}+9y_{0}}{2} , y_{n}\to \frac{x_{0}+9y_{0}}{2}

\left( \frac{x_{0}+9y_{0}}{2} , \frac{x_{0}+9y_{0}}{2} \right)

【解答】

\left( \frac{3x_{0}+2y_{0}}{5} , \frac{3x_{0}+2y_{0}}{5} \right)

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

回答回数4504ベストアンサー獲得回数437

 y_nが間違ってます。(^_^;
 3項間の漸化式を導いたとこまではあっているので、
 y_n=A+B ¥frac{1}{6^n}とおいて、
 y_0=A+B
 y_1=A+¥frac{1}{6} B
から、係数A,Bを求めてみましょう。
 ちなみに、特性方程式の解をα,βとすると、
y_n=¥frac{¥left(y_1-¥alpha y_0¥right)¥beta^n-¥left(y_1-¥beta y_0¥right)¥alpha^n}{¥beta-¥alpha

id:Tomoya530

御回答ありがとうございます
上の方針を使ってみたところ見事に答えが合いました!

2015/04/12 09:26:09

その他の回答1件)

id:tea_cup No.1

回答回数1071ベストアンサー獲得回数194

Xnを求めるところで1/5がなくなっているのが変では?

id:Tomoya530

御回答ありがとうございます

2015/04/12 09:24:15
id:rsc96074 No.2

回答回数4504ベストアンサー獲得回数437ここでベストアンサー

 y_nが間違ってます。(^_^;
 3項間の漸化式を導いたとこまではあっているので、
 y_n=A+B ¥frac{1}{6^n}とおいて、
 y_0=A+B
 y_1=A+¥frac{1}{6} B
から、係数A,Bを求めてみましょう。
 ちなみに、特性方程式の解をα,βとすると、
y_n=¥frac{¥left(y_1-¥alpha y_0¥right)¥beta^n-¥left(y_1-¥beta y_0¥right)¥alpha^n}{¥beta-¥alpha

id:Tomoya530

御回答ありがとうございます
上の方針を使ってみたところ見事に答えが合いました!

2015/04/12 09:26:09

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