はてなのブログカードに、背景色をつけたいと思って、いろいろいじくってみたんですが、どうしてもできません。

CSS で行けるんじゃないかと思います。

CSS では背景色は変更できなかったので、JavaScript による回答に修正しました。
コメント欄で述べたように、自ブログの過去記事限定で、他のはてなブログの記事を引用したブログカードには適用されません。

 <script type="text/javascript">
  var blogCardBgColor = "#E6E6FA"; //背景色
  var blogCardBorderColor = "black"; //枠色
  window.onload = function() {
    var article = document.getElementById("main");
    var blogCard = article.getElementsByTagName("iframe");
    for (var i = 0; i < blogCard.length; i++) {
      blogCard[i].style.backgroundColor = blogCardBorderColor;
      try {
        var blogbody = new Array;
        blogbody[i] = blogCard[i].contentWindow.document;
      } catch(e) {return;}
      var wrapper = new Array;
      wrapper = blogbody[i].getElementsByTagName("div");
      wrapper[0].style.backgroundColor = blogCardBgColor;
    }
  }
  </script>

上記をコピーして、管理画面の [デザイン]→[カスタマイズ] から、フッタの「HTMLを記述できます」の欄に貼り付けてください。
最初の2行が色の設定ですので、お好みで。

1記事に複数のカードがある場合でも有効なようにしたつもりです。
テスト環境でのスクリーンショット。


（テストに使用したはてなブログは非公開です）

最初の読み込みで適用されない時は、ページをリロードしてみてると適用されるかもです。
お試しください。

なお、私は基本的にプログラムの人ではないので、そもそも動作しないとか、もっとエレガントな方法があるという可能性もあります。
誰とは言いませんが a-kuma3 さんのような人が赤ペン先生になってくれると期待しています。

 <script type="text/javascript">
  // see http://q.hatena.ne.jp/1450950546
  var blogCardBgColor = "#f8f4e6"; //背景色
  var blogCardBdColor = "#b3b3b3"; //枠色
  window.onload = function() {
    var article = document.getElementById("main");
    var blogCard = article.getElementsByTagName("iframe");
    for (var i = 0; i < blogCard.length; i++) {
      try {
        var blogBody = blogCard[i].contentWindow.document;
        var wrapper = blogBody.getElementsByTagName("div");
        wrapper[0].style.backgroundColor = blogCardBgColor;
        blogCard[i].style.backgroundColor = blogCardBdColor;
      } catch(e) {
        // NOP
      }
    }
  }
  </script>

修正のついでに、この質問の URL をコメントに入れておきました。
色の指定もお使いの色使いに変えてあります。
ブラウザ上の動作は変わりないと思いますけど、こちらのほうがエレガントですので、お手数ですが差し替えていただければ幸いです。