今、142行目のZ列から、以下のようなデータが並んでおります。

この状況で、Z列の文字列の変わり目のセル、上記で言いますと152行目と157行目ですが。

質問の例だと、142～143行目を、152～153行目、157～158行目の AA～BF 列に貼り付けるということで良いのでしょうか。

以下のコードを標準モジュールに貼り付けて、copy_aa_bf サブルーチンを実行してください。

Const MAX_ROW = 50000   ' 処理対象の最大行数

Function is_blank_cell(c)
    is_blank_cell = IsEmpty(c) Or c.Value = ""
End Function


Sub copy_aa_bf()

    c = 26      ' Z列
    r0 = 142    ' 開始行

    ' AA142:BF143 をコピー
    Range(Cells(r0, c + 1), Cells(r0 + 1, c + 32)).Copy

    r = r0 + 1
    prev = Cells(r0, c).Value

    Do Until is_blank_cell(Cells(r, c))
        v = Cells(r, c).Value
        If v <> prev Then
            Cells(r, c + 1).Select
            ActiveSheet.Paste
        End If
        prev = v
        DoEvents
        r = r + 1
        If r > MAX_ROW Then     ' 念のため
            Exit Do
        End If
    Loop

End Sub

ビビリなので、最大処理行数を MAX_ROW で指定しています。
適宜、増やしてください。

2行をコピーして貼り付けるので、Z列の値は最低でも 2行は同じ値が続くことを前提としています。