iPhone6の画面録画をしたいのですが、「AirShou」というアプリが安全ですか？もし安全でなければ、何かオススメがありますか？

air shouはウェブサイトから直接インストするもので、非公認のアプリと言ってもいいです。AppStoreから直接にインストールアプリではない限り、ウイルスなどの危険性は保証できないのです。

iPhone画面をPCに映して別のソフトで録画する方法がありますが、２つのソフトを使わなければいけないのでちょっと面倒ですね。

というわけで、以下のソフトをお勧めします。それ一本でpcに画面をストリーミング再生して録画することができます。
↓
http://blog.livedoor.jp/peterann/record-iphone-screen

デモ動画もありますので、よかったら、ご参考にしてくださいね。
↓
https://www.youtube.com/watch?v=LjTTDcpHIjk

App StoreからインストールするApp以外は、どれも安全とは言い切れません。自己責任での使用になりますので、ご了承ください。
iPhoneからの直接録画はどれもハイリスクなので (iPhoneの制約上、安全と言い切れる録画手段はない) 、安全に録画するならご面倒でもパソコンを経由しましょう。
なお、Macをお持ちであれば、以下の公式の録画方法が一番です。(この方法はWindowsではできません)

1. iPhoneとMacをUSBケーブルで接続します。
   • iTunesはつかわないので、もし出てもしまっておいてかまいません。
2. QuickTime Playerを起動します。
   • QuickTime 7のほうではありません、もしあったら間違えないように!
3. 「ファイル」メニューの「新規ムービー収録」を選択します。
   • Dockしていれば、QuickTimeを右クリック (Controlクリック) で直接収録できるので、ひらく手間が省けます。
   • 画面収録ではありません、ご注意ください!
4. 「収録」ボタン (赤丸) の横にある▽をから、「カメラ」「マイク」をそれぞれiPhoneにし、画質を選択します。(ひくめにしてもわりと容量が必要なので要注意)
5. 収録前にiPhoneを回転させて、縦・横をえらんでおきます。(収録中に回転すると大変)
6. 「収録」ボタンをクリックします。

これで録画ができます。
Windowsに関しては、匿名回答1号さんの回答とおなじく、iPhone/iPad録画究極をおすすめします。