0.999…＝1の証明について、疑問を見つけた気がしてきました。

質問の動機ですが、2ちゃんねるで「0.999…≠1を証明した。論破しろ（私の意訳）」というスレッドを見かけました。案の定グダグダになって結論は出なかったのですが

「お互いに正反対の証明が存在して、片方に明確な誤りを見つけるのがとても難しいのはなぜだ？」

「ひょっとして、両者の間には無限に対する立場の違いみたいなことが根底に横たわっているのでは？そういやこないだ新書で実無限と可能無限の立場の違いみたいなことを読んだし」

「となれば、0.999…＝1を認めない立場というのはそれなりに変なものではないのかも？」「0.999…＝1の証明にも、反対派が認めたがらない前提を暗黙の上で認めているのかも知れない」

と考えて、言い方が大げさですが0.999…＝1の証明を吟味してみようと思いたちました。

tatsumi-daさんの√2の例ですが、私も漠然と思っていました。

「3、3.1、3.14、3.1415、…って、一つの完結した数なのかな？πって名前をつけてるから完結した数として扱われているだけなんじゃなかろうか？」「無理数の例で出された0.1010010001…なんかも怪しい気がする」「もしそうなら、0.999…はπ（や√2）と同じに扱っていいんだろうか？」

今言葉にするとそんな感じの違和感です。

ですので

>有理数で1, 1.4, 1.41, 1.414, ... の収束先存在しない(実数上では√2)

>とかは、実数の完備性について調べると良いかもしれません。

という指摘がありがたかったです。

その方向で一般向け解説本を探してみます。

突然思い出しましたが、子供の頃に 不等号を習った時に「□＜5って言うのは5を含まない」「4.999…までだよ」みたいなことを言われて微妙な気分になったのを覚えています。たぶん私は普通の人より0.999…ネタにこだわりを持つ性格なんでしょう。「□≦5は、5.00…1を含まない」は気にならないんですが。