「半径ｒの円周上の任意の２点間の距離の最大値がちょうど２ｒとなる」の証明を考えて下さい。なお、三角不等式を使う方法以外の方法希望です。

座標の関係と円の方程式を使ったやり方で。

まず、原点中心で半径rの円Cを考えると、この円Cの方程式は

円周上にとる2点は任意なので片方を固定して考えても問題は変わらない。
そのため、点Aを固定する。これは円C上の点であることは方程式の解であることから簡単にわかる。

ここで、もう一つの円C上の点Bをとおくと、この2点間の距離は

となる。あとはこの式を簡単にすると

となる。これより点Aと点Bの距離が最大となるにはが最大となるを求めれば良い。点Bは円C上の座標なのでの範囲はとなることを考えると、が最大となり、このときの距離はとなることから、距離の最大値は2rとなる

というのでいかがでしょうか。

円の中心をO, 円周上の2点をP, Qと置くと、余弦定理より
PQ^2 = OP^2 + OQ^2 - 2×OP×OQ×cos∠POQ
となる。
-1 ≦ cos∠POQ ≦ 1なので、
（右辺） ≦ OP^2 + OQ^2 + 2×OP×OQ
OP=OQ=rなので、
（右辺）≦ r^2 + r^2 + 2×r×r = 4r^2
となり、
PQ^2 ≦ 4r^2
⇒ PQ ≦ 2r

PQが円の直径となるとき実際にPQ=2rとなるのでPQの最大値は2r

以上

コメントの記号で、PQが直径ならPQ=2rである。
否なら、SをPSが直径になるようにとると、△PQSは∠Qが直角となりPS=2rでこれが斜辺になるので他の辺PQはこれよりも小さい。すなわちPQ<PS=2rである。
以上より、最大値は2rである。

中学校レベルであれば、これが三角不等式を使う方法に対する立派な別証明です。もっとも中学校では三角不等式とは言わずに「線分は2点間で最短」といった言い方になりますが。

ただし、公理的に扱い出すと、上の証明で問い詰めても本当に三角不等式を使わないのかと言い出すと、簡単ではないはずです。それは私はやる気はありません。

アイの証明

「半径ｒの円周上の任意の２点間の距離の最大値がちょうど２ｒとなる」
　ハルキは唐突に切り出した。
「え？　ちょっと、何言ってんのかわかんない」
　ミズキは戸惑う。
　それはそうだ。
　今日は二人の交際開始から三か月の記念日。
　ちょうど、ハルキのバイト代が入ったこともあり、二人でささやかな晩餐を開いているのだ。
　学生の身分でもあり、毎日の暮らしの豊かさを食を通して提案してくれる、イタリアンワイン＆カフェレストランでのほんのささやかな晩餐ではあったが。
「ははっ、ミズキには難しすぎたか」
　ハルキは屈託なく笑う。
　そこそこの大学にそこそこの成績で入り、そこそこの成績を収めているハルキではあるので、学部は文系だがそこそこの数学的知識や思考力がある。
　対して、ミズキは地頭は悪くはないのだが、勉強と聞くと蕁麻疹が出るくらいの勢いの勉強嫌いであったため、ほぼほぼ面接と中学受験相当――というのも言い過ぎなぐらいの小学生の基礎知識レヴェル――の筆記テストでなんとか合格できる高校を卒業した後は、己の趣味を仕事にするべく、専門学校的な機関で学んでいる。
　半径や円周、最大値などの用語について意味がわからないことはないが、【r】など、数学用語的な、特に横文字を聞くと虫唾が走るのだ。
「次に【アール】とか口走ったら、刺すよ？」
　ミズキは、パスタを食べる手を止めて、スプーンの先端をハルキに向けた。
　これは、右手に持つフォークだと冗談にならないから、ジョークを交えて危害を加えにくいスプーンを向けたというわけではない。
　ミズキは両親に強制されて、筆記や食事の際は右利きになっているが、ことスポーツや格闘になると、本来の左手が優位に動くのだ。
　しかも、氣の扱いに精通しているため、単なるスプーンに切断力を持たせるという特殊能力も持っている。
　皮や肉はもちろん、指の骨ぐらいであれば容易に切断できるのだ。
「まあまあ、じゃあもうその話はしない」
　ハルキはハルキで、氣の扱いに精通しているため、ミズキ程度が練った氣であれば己の氣を体表面に集めることで、ミズキがスプーンに付与した切断力を相殺し、防御しきれるのだが、場所が場所――毎日の暮らしの豊かさを食を通して提案してくれる、イタリアンワイン＆カフェレストラン――でもあるために、痴話げんか――巻き込まれると周囲の人間、半径５ｍぐらいは致命傷を負う――を避けるべく、話題を変えるような口ぶりで応答した。
「じゃあ、もっと簡単に言い換えよう。恋人同士の心の距離について」
「それなら、今日の記念日にぴったりの話題だね！」
　ミズキは口角を上げて笑みを浮かべた。その口元からは鋭い牙が覗いている。
「このお皿……」
　ハルキは、空になったポップコーンシュリンプの皿を指さした。
「直径は大体１０センチぐらいかな？　っていうことは半径は５センチだ」
「そうだね。正確には１２センチと５．７ミリだけど」
「このお皿の外周に僕とミズキチが居るってわけだ。付き合う前は、”ここ”と”ここ”とぐらいかな？」
　ハルキが指したのは、皿の中心と２点を結ぶと４５度角の扇形になるくらいの２点。
「そうだね～、付き合う前からまあまあ仲良かったもんね」
「今は、これくらいかな？」
　次に指したのは３０度になるぐらいの２点。
「えー？　そんなもの？　もっと近いよ」
　ミズキは、１５度くらいになる２点を指す。そうなると両手は必要なく、右手の人差し指と小指で事足りる。
　自然と手の形が、スタンハンセンのウィーと叫んでいるポーズになる。
「スタンハンセンみたいだね？」
「誰？」
「ブレーキの壊れたダンプカーだよ。プロレスラーだよ。ちょっとそのまま手を挙げてウィーって叫んでみてよ」
　ハルキはおどけてミズキにお願いする。
「あれは、ユース！　って叫んでるのよ」
「じゃあ、僕はブルーザブロディだ」
　そう言って、ハルキは卓上のピンポンを押し、店員に鎖を注文した。
　鎖はメニューに無かったため、ポップコーンシュリンプを再度注文し、丸くなった揚げられたエビで疑似的な鎖を作ることに成功した。
　閑話休題。
「とにかく、恋人同士、夫婦になっても僕たちの距離はこの演習場……じゃなかった、円周上を行ったり来たりだ」
「もっと近づきたいよ、あたしは」
「うん、僕ら二人が点だとすれば、距離は限りなくゼロに近づける」
「限りなく？」
「ミズキには腹立たしい表現かもしれないけれど、二人を面積を持たない点だと考えたら実質はゼロだ」
「概念的な点になるわけね。摩擦係数とか無視するようなあれね？」
「そういうこと。そして、二人の気持ちが離れない限り……」
　そこで、ハルキはまた皿の２点を指さす。
「どんなに離れても”ここ”と”ここ”。中心を通った直線で結ばれるこの二点」
「ちょうど直径の長さね。概算で１０センチ」
「忠心を持ち続けていれば、直系の子孫、つまり僕らの子供が僕らを繋いでくれる」
「誰が、言葉では伝わりにくく、文字にしないとわからない程度に微妙に巧い事言えっていったか！」
　ミズキの体からオーラがほとばしる。
「というわけで、半径が５センチのお皿の円周上に居る僕らが、どんなに離れても、その距離は半径の２倍、つまりは直径の長さである１０センチは超えない」
「もし、もしだけれど、円周からはみ出してしまったらどうなるの？」
「そんなことはありえない。だって僕らは、ハンセンとブロディ。ミラクルパワーコンビだからね。どんな困難も愛の奇跡で乗り越えられる。場外乱闘になっても２０カウント以内には戻って来れるんだ」
「 j の力かぁ」
「いや、今は虚数の話はしていない。初めに決めた【数学用語的な、特に横文字を聞くと虫唾が走るのだ】っていう設定無視しないでくれ」



あとがき。
文系頭なので、始め何言ってるかわかんなかったです。
どちらかというと数学は中学時代は大得意で高校で苦手になったのですが、「半径ｒの円周上の任意の２点間の距離の最大値がちょうど２ｒとなる」の証明って不親切ですよね。（あくまで、数学が日常ではなくなった一般人にとってはという意味でくりょさんを非難しているわけではありません）
ぶっちゃけ言い直すと、直径１０cmの円の円周上の２点が一番遠い時の距離は？　ってことで、照明もなにも、直径の端と端の時が一番遠いやろ？　って思うのですが、それ以上近くならないためにはｓれを証明する必要が生じたり、直感でわかることでもそれを数学的に証明しておかないと、他の疑問を解消するときに、事前条件（数学的証明）を利用できなくなって困ったりと、面倒な学問ですが、有史以前より様々な人の知恵と努力に支えられてきているんだなーって思います。
今までの質問は、そもそもが難しすぎてさっぱり意味不明でしたが、今回は（なにか重大な誤解をしていない限り）なんとなくついていけた気がしたので参加できてよかったです。

長さ2rの線分ABを引き、ABを直径とする半径rの円周を描く。この円をC_1とする。
次に、点Bを中心とする半径2rの円周を描き、これをC_2とすると、C_1はC_2に点Aで内接する。
(点BからC_1上のある点までの距離)を考えると、C_1上の全ての点について、点AだけがC_2上にあり、それ以外は全てC_2の内側にあるので、円周が(ある点から等距離の点の集合)であることを考慮すれば、(点BからC_1上のある点までの距離)の最大値はAB=2rである。
点BはC_1上の点なので、これがC_1上の2点間の距離の最大値となる。

もし試験で出たら私は三角不等式を使いますが……

三角関数を使って解く方法
原点中心半径rの円周上の2点P(r cos a, r sin a),Q(r cos b, r sin b)間の距離の平方PQ^2は、
(r sin b - r sin a)^2+(r con b - r sin a) ^2
=r^2(2 - 2 sin a sin b - 2 cos a cos b)
=2 r^2(1 - cos (b-a))
となる。 -1 ≦ cos (b-a) ≦ 1 より、
≦2 r^2(1 + 1 ) = 4r^2
なので、PQ ≦ 2rとなる。等号成立はb-a=πのとき。

ベクトルで解く方法
原点中心半径r上の円周上の2点P,Qを表す位置ベクトルa,bとすると、|a|=|b|=r。このときPQ=|b-a|より、
|b-a|^2=|b|^2 -2 ab + |a|^2=2r^2 -2ab
ここで、ab=|a||b|cos θで、-1≦cos θ≦1より、-|a||b|≦ab≦|a||b|から、-r^2≦ab≦r^2
従って
≦2r^2 -2 ( -r^2)=4r^2となるので、|b-a|≦2rとなる。等号成立はθ=πのとき。

cosの値域をつかった、いわゆるベタな解き方です。