大学の教授が講義で「現在のインターネット通信の殆どはWebです」って言っていました。Web以外のインターネットって何があるのですか？メールくらいしか思いつきません。

光電話のようなIP電話の一部
SkypeやLINE通話のような音声通話や動画ストリーミング
スマホアプリ（ツイッターとかゲーム）
ゲームのネット対戦
インターネットTV
カラオケの楽曲配信
インターネットPOSシステム | 日経 xTECH（クロステック）
昔は企業間の通信は専用線だったが　今はVPNにくるんでインターネットで通信する

・telnet系の通信
・unixだとパイプで繋いで、インターネット越しにデータのやり取りできます
・ftp
・ping
・自作のプログラムなら、インターネット通信するソフトを開発できます
昔はWebが存在しなかった時代もあるので、そんな時代のソフトが今でも現役で使われ続けています。

NTP（時刻同期）
SMTP（メール送信）
POP（メール受信※メール本体を受信した端末に持ってくる）
IMAP（メール受信※メール本体はメールサーバに残したまま）
DHCP（ネットワークに参加するときに必要な情報を自動的に割り当てる）
DNS（URLをIPアドレスに変換するため）
等がまだ出てきていないプロトコルでしょうか？

皆さんが回答しているのはそれぞれ異なったプロトコルになります。
※プロトコルとは電子機器間で通信をする（インターネットに限らない）時の取り決めです。

まぁそもそも教授に聞くのが正当なプロトコルですかね。

インターネットプロトコル　https://ja.wikipedia.org/wiki/Internet_Protocol

Webとは、WWW World Wide Webのことで、ドキュメント（ウェブページ）の記述には主にHTMLやXHTMLといったハイパーテキストの記述言語が使用される。使用されるプロトコルがHTTP　Hypertext Transfer Protocol

インターネットの通信のどの階層を考えるのかで、答えは変わってきますね。

I think, the Internet is different from the web as follows: the web is a small part of the internet, the internet refers to a large and inclusive web, and the web is only a service in it.

私は上記に賛成できません。ウェブはインターネットの正面層にすぎず、ほとんどの人々が知っていることのない活動のほとんどを網羅している濃い網と深い網があります

出典：Online Privacy Tips

＞大学の教授が講義で「現在のインターネット通信の殆どはWebです」
みんな質問のメールくらいしかの部分に釣られてプロトコルの話になっているけど、世代や話の流れを考えるとコメントの1号が、たぶん正解。
wiki-パソコン通信

Webというなら、別段、ストリーミング用のプロトコルなどを使っていたりしてもいいわけで…（イメージだけで言うなら、YouTubeとか「ウェブ」ラジオとか、ね。）

この後、ちと長いですが…

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Re:8号

https://science.howstuffworks.com/innovation/inventions/who-invented-the-internet1.htm
> The Web is relatively young -- Berners-Lee created it in 1990. But in that short time it's become one of the most popular ways to interact with the Internet -- so much so that some people mistakenly believe the Web is the same thing as the Internet.

So, they are sometimes same, sometimes different.

日本だと、インターネットは蜘蛛の巣状だからウェブなんだよって説明もちらほらと。逆に、ウェブはインターネットの一部と説明する人はほとんど見かけないと思います。
かなりの人が、mistakenly believeの方を信じてしまったのかもしれませんね…
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And may be a good ref to see.
たぶん、このリンク先を見ると、わかりやすいと思います。
ごめんなさい、日本語のソースは探すのが面倒なのであきらめました。
（以降、訳は適当）
Internet History Timeline: ARPANET to the World Wide Web

> The precursor to the Internet was jumpstarted in the early days of computing history, in 1969 with the U.S. Defense Department's Advanced Research Projects Agency Network (ARPANET).
1969年：インターネットの前身となる、ARPANET爆誕。
ちなみに、最初の通信は「ろ(lo)」で力尽きたらしい。（日本語版Wikiによる）

> 1973: Global networking becomes a reality as the University College of London (England) and Royal Radar Establishment (Norway) connect to ARPANET. The term Internet is born.
1973年：「Internet」という言葉が生まれた。

> 1974: The first Internet Service Provider (ISP) is born with the introduction of a commercial version of ARPANET, known as Telenet.
1974年：初のISPとともに、ARPANETの商用版、Telenetが生まれる。
（流れと関係ないって？）

> 1989: World.std.com becomes the first commercial provider of dial-up access to the Internet.
1989年：インターネットへのダイアルアップ接続の提供が始まる

> 1990: Tim Berners-Lee, a scientist at CERN, the European Organization for Nuclear Research, develops HyperText Markup Language (HTML).
1990年：HTMLキタコレ

> 1991: CERN introduces the World Wide Web to the public.
1991年：CERNの陰謀・・・じゃなくて、WWWが公開される。
大文字で書くと何か電波が出てそうですが、「世界中に繋がってる」という感じで使う方のwwwですね。（小文字で書いても雰囲気が…やっぱり陰謀なのか?）

> 1992: The first audio and video are distributed over the Internet. The phrase "surfing the Internet" is popularized.
1992年：ウェブサーフィンはやる。
よくよく考えたら、ここで和訳が「ウェブ」になってるんですよね…
もしかして、インターネットとウェブが混ざった、すべての元凶？

> 1994: Netscape Communications is born. Microsoft creates a Web browser for Windows 95.
1994年：長き闘争の日々、序章。

> 1995: Compuserve, America Online and Prodigy begin to provide Internet access.
1995年：パソ通ですね。

> 1998: The Google search engine is born...
1998年：G様、アップはじめる。

この後、パソコン通信の終焉など。（Wikiによる）

こうして見ると、Webって単語、奥が深いですね。

Web以前のインターネット生活というと、ftpで大学や研究機関に置いてあるソフトをダウンロードし、telnetで離れたワークステーションを使い(Xはインターネット越しで使うのはちょっと辛かった)、mailで連絡を取り合い、netnewsで議論をしつつ、fingerで友人がどこにいるのか探し、ircでチャットを楽しむというような感じでした。まだ個々のワークステーションやプリンタにグローバルアドレスが割り振られていた頃の話です。
私自身はUUCPは使ったことないかな。gopherは一瞬だけ使ったことあるけどこんなものかという程度でした。もちろん、裏ではDNSやらBGPやらNTPやらSNMPやら動いてましたけどね(これは今でも同じ)。
今ではかなりの部分Webに集約されて、ローカルで使うソフトはWebブラウザだけというのも珍しく無くなってますね。