微分についての初歩的な質問

> なにか重大な勘違いをしている気がしてなりません
その通り、勘違いしています。
f(x,y(x))についてxでの微分は偏微分ではなく1変数関数としての普通の微分ですからdf(x,y(x))/dxと書くべきで、
df(x,y(x))/dx=∂f/∂x+(∂f/∂y)(dy/dx)
です。ここで左辺と右辺第1項は意味が違います。右辺第1項はyは独立変数と考えて偏微分します。もっと詳しく書けば∂f(x, y)/∂xです。yを独立変数と考える場合、力学の習慣でy(x)とは書きません。

例えば、f(x,y)=(x-y)^3, y=2xのとき
f(x,y(x))=-x^3なのでdf(x,y(x))/dx=-3x^2
∂f/∂x=3(x-y)^2=3(x-2x)^2=3x^2　ここで、偏微分するときはyは独立変数だと思い、偏微分したあとにy=2xを代入していることに注意。
∂f/∂y=-3(x-y)^2=-3(x-2x)^2=-3x^2　前の注意と同様。
dy/dx=2
なので、右辺=3x^2-3x^2×2=-3x^2=左辺
となります。