y=x^2とy=e^xが一様連続ではない理由を教えて下さい。お願いいたします。

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  • 登録:2019/09/23 00:36:15
  • 終了:2019/09/30 00:40:07
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y-1/x(x>0)でもいいです。

ベストアンサー

id:MIYADO No.1

みやど回答回数617ベストアンサー獲得回数1242019/09/23 12:10:49

f(x)=x^2とする。

これが一様連続だと仮定する。

すると、ε=1に対して、δ>0を適当に選ぶと、

任意のx, x’に対して、 |x’-x|<δ ならば |f(x’)-f(x)|<1

とできる。ここで、特にx’=x+δ/2とすると、|x’-x|=δ/2<δなので、|f(x’)-f(x)|<1も成り立つ。

fは微分可能なので、平均値の定理より、各xに対してθ (0<θ<1) があって
|f(x’)-f(x)|=|f’(x+θδ/2)||x’-x|=δf’(x+θδ/2)/2

ここで、左辺<1なのに右辺はx=1/δのとき|δf’(x+θδ/2)/2|=δ(x+θδ/2)>δx=1なので矛盾。

他も同様。

id:kyapppu

ありがとうございました。感謝申し上げます。!

2019/10/04 01:03:41

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id:MIYADO No.1

みやど回答回数617ベストアンサー獲得回数1242019/09/23 12:10:49ここでベストアンサー

f(x)=x^2とする。

これが一様連続だと仮定する。

すると、ε=1に対して、δ>0を適当に選ぶと、

任意のx, x’に対して、 |x’-x|<δ ならば |f(x’)-f(x)|<1

とできる。ここで、特にx’=x+δ/2とすると、|x’-x|=δ/2<δなので、|f(x’)-f(x)|<1も成り立つ。

fは微分可能なので、平均値の定理より、各xに対してθ (0<θ<1) があって
|f(x’)-f(x)|=|f’(x+θδ/2)||x’-x|=δf’(x+θδ/2)/2

ここで、左辺<1なのに右辺はx=1/δのとき|δf’(x+θδ/2)/2|=δ(x+θδ/2)>δx=1なので矛盾。

他も同様。

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ありがとうございました。感謝申し上げます。!

2019/10/04 01:03:41

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