台所の排水管がほぼ完全に詰まり、困っています。

通水カップ（いわゆるトイレのスッポン）が意外に効く場合があります。
数回スッポンスッポンすると案外簡単に解消しますが、
無理にやるとパイプを傷める等悪化することもあるので、
やりすぎは禁物です。

排水詰まりには、薬品は高いだけで役に立たないことが多いです。
素人がやるのは通水カップまでにとどめて、
それで無理なら業者を呼ぶのがベターです。

ホースは、行き場のない水の処理方法を考えないと
事態を悪化させるだけかもしれません。

　
キッチンのシンク下部の排水トラップと排水管は、樹脂製ですから、
薬剤溶解や金属工具で突っつくことはしないほうがよく、
周囲を掃除しながら、すべて取り外して、きれいに清掃する。
古くなっているものは、新しい樹脂製の排水管に交換することがよいと思います。
ホームセンターで材料はすべて揃えることができます。
　
https://www.youtube.com/watch?v=GLQyhw6IlN8
　
https://www.youtube.com/watch?v=rL-obi_-VcE
　
　
　

　戸建て住宅とのことですが、当然火災保険は入っていると思いす。契約内容を確認してみてください。もしかして「水回りトラブル解決サービス」のようなものが付帯されていませんか？例えば「１回の出動で３０分以内の作業まで無料」みたいなものです。
　以前住んでいた物件で水洗トイレが詰まった際に、パイプクリーナーだ酢だ重曹だ熱めのお湯だと低コストで試せるレベルで半日トライし「残るはスッポンだ、でも引っ張った時に周りにハネが飛ぶから注意、と聞くしなー」と躊躇したところで思い出したのが件の水回りサービス。
　電話したらほどなく到着し、持ち込んだ真空パイプを２回ほどピストンさせただけで開通。実質作業時間５分程度でした。もちろん無料。
　ネットであれこれ調べながら交換資材だ工具だこぼれる水を受けるバケツだ防水シートだ・・・と時間と手間と費用を費やしたあげく正しく交換できたのかの不安が付きまとうのは嫌じゃないですか？
　まず、火災保険を調べて下さい。わからなければ保険証券番号のわかるものを準備して保険会社に電話し「自分が入っている保険にこういうサービスはついてますか？」と問い合わせましょう。
　残念ながらそういう無料サービスが付帯されてなかったとしても、上に書いたような調査、準備、コスト、時間、手間・・・業者に任せるよりも安上がりだ、と思えますか？
　家とか車とかはプロに任せるのが得策ですよ。

その手の構造ならホースの交換が一番簡単です。
ホース内部を掃除するよりも交換した方がはるかに楽。
全く流れなくなっているって事は、内部にぎっしりと脂肪や繊維の塊がこびりついています。
こびりついたゴミを取り除くには嫌になるくらい手間が掛かる。
そうならないために時々はパイプスルーなど使ってお通じを良くしておくのがセオリーなんですが、たぶん毎日のように油脂を流し続けたんじゃないかな？
流れが悪くなっても放置プレーだったとか・・・。

同じ径のホースと、ゴム部品なども交換した方がベター。
樹脂製や金属製の部品は再利用できることもありますが、分解した場合は新品が入手できれば取り替えてしまった方が後々の修理の際に楽。

百均でノギスを売ってるので、アレで充分ですから、ホースを取り外して直径を測って同じ直径のホース（規格品です）を少し長めに買ってくる。
分解する過程でゴム部品などが出てきた場合は、そっちは実物を持って、ホームセンターか管材屋に買いに行けば売ってる事が多い。
ホースは計り売りしてるのでホースだけなら材料費はそんなに高くない。
ホースの固定はホースバンドだと思うけど、ホース周囲のゴム部品はたぶん固くなって朽ちかけている事が多い。
あるいはパッキンかましてねじ込む構造かもしれない。

シンクの底との接続部分の構造が分からないので確実なことは言えないんですが、先ずは何とか分解してみるのが先です。

ホースの下側は穴に差し込んであるだけって事が多いんですが、その下が詰まっていたら・・・素人の手に負えないのでプロに頼んで下さい。
差し込む部分にゴム部品が使ってあることが多いんですが、できれば取り替えた方がベター。

場合によっては部品の取り寄せになることもあるんだけど、たぶんやったことないだろうし・・・
その辺りで分からなければプロに頼むしかなくなる。

汎用品だけで直せる構造だったとしても工具がなければ難しい。
ドライバーでも番手が合わなければ固くなったネジが廻らない。
ペンチとかスパナなどが必要になることもあります。

最初からプロに頼んだ方が安く付くとは思いますが、色々やってみるのも良い経験になるでしょう。

なお、ホースが丸く回してあるのは悪臭が上がってくるのを防ぐためです。回してある部分に水が貯まり、その下からの悪臭の遡上をシャットアウトできます。
ただ、台所の排水の場合は詰まる原因になることが多いので回さない方が良いんです。
なぽりんさんが提案しているように、その部分を真っ直ぐに伸ばしてみるっていうのもやってみる価値があります。
たぶん結束バンドかビニールテープで束ねてあるだけでしょう。
ハサミで切れば・・・たぶんそのままの形で固まっているだろうから、やっぱり交換する必要があるかもしれません。
先が下の穴に収まりきらないのならノコギリで切る必要があることもあります。
いずれにしてもホースを取り外さなければ難しいですね。

真っ直ぐに伸ばしたあとで、下から悪臭が上がってきて、どうしても臭い場合は、別に対策が必要になることもあります。