払う義務はないです。ただし、その借金を相続した場合は、払う義務が生じます。
微妙なところです。民法877条の扶養義務を考えれば、借金によって親の生活が成り立たなければ子にも扶養義務がありますから、何らかの負担がある場合も有り得ます。一応、家裁は扶養義務を負わせる事ができるとなっています。(強制力はほとんど無い様ですが、、)現実的には、連帯保証人にならない、ないし相続時に相続放棄すれば法的な支払い義務は発生しないと思います。