Page::body が http の response body の String なので､そこから探すか､
ﾀｸﾞや属性､ｺﾒﾝﾄなんかは対象にしたくないということであれば､
Page::search で､対象の要素を列挙して､inner_text から文字列を探す､
という感じになると思います｡

雰囲気だけですが､こんな感じ？

require 'mechanize'

url = 'http://ほげほげ/ふがふが'
re = /探したい文字列/

agent = Mechanize.new
page = agent.get(url)

# ﾚｽﾎﾟﾝｽそのものの中から探す
if page.body =~ re then
 # 見つかった！
end

# DIVﾀｸﾞの #text だけを対象に探す
page.search('DIV').each { |div|
 if div.inner_text =~ re then
 # 見つかった！
 end
}

一応､ﾘﾌｧﾚﾝｽも｡
http://w.livedoor.jp/ruby_mechanize/d/Mechanize%3A%3APage#body
http://w.livedoor.jp/ruby_mechanize/d/Mechanize%3A%3APage#search

本家はこっちだけど､特別､詳しいとか見やすいというわけではない｡
http://mechanize.rubyforge.org/Mechanize/File.html
http://mechanize.rubyforge.org/Mechanize/Page.html#method-i-search