スラッシュはパスの区切り記号なので、"index.php" というディレクトリがなければ、さくらの動作が正常です。
"index.php/hoge" としたときに、どんな動作をすることが希望ですか?
おそらく PHTH_INFO が、無効になっているためと思います。
さくらのレンタルサーバでは、PHP で、PATH_INFO を使うのに 「サーバコントロールパネル」の「PHP設定の編集」で、php.ini に 下記の設定を追加する必要があります。(または、www ディレクトリにある「php.ini」を編集する。)
cgi.fix_pathinfo=1
cgi.fix_pathinfo について、詳しくは、PHP のマニュアルを参照してください。(PHPのマニュアルには、デフォルトが、"1"になっていると記載されていますが、さくらのレンタルサーバでは、"0" になっているようです。)
http://www.php.net/manual/ja/ini.core.php#ini.cgi.fix-pathinfo