http://sports.yahoo.co.jp/ の右側の｢ｽｺｱﾎﾞｰﾄﾞ｣の部分は､静的な HTML ではなく javascript で生成されています｡

ﾍﾟｰｼﾞをﾛｰﾄﾞしたときに､ｽｺｱﾎﾞｰﾄﾞの部分のﾃﾞｰﾀが､以下のﾘｸｴｽﾄで動的に取得されています｡
http://sports.yahoo.co.jp/scoreboard/?callback=spnaviJsonp
そのﾚｽﾎﾟﾝｽは JSONP 形式です｡

初期表示では､左端のﾀﾌﾞが選ばれた状態で､ひとつめの内容だけが HTML として展開され､二番目の MLB ﾀﾌﾞは､それが最初にｸﾘｯｸされたときに javascript で HTML が動的に生成され､それ以降のﾀﾌﾞの切り替えでは､展開された内容の表示を on / off しています｡

MLBの試合結果
｢ｼﾞｬｲｱﾝﾂ 1-6 ｱｽﾚﾁｯｸｽ｣だけを
抽出してDBに保存したい
抽出したﾃﾞｰﾀを自分のｻｲﾄに表示したいのですが
...

javascript で動的に生成される HTML なので､Nokogiri では切り出すことができません｡
攻め方としては､ふたつあります｡

(1) Ruby で HTTP なﾘｸｴｽﾄを投げ､返って来た JSONP 形式のﾃﾞｰﾀをﾊﾟｰｽする

形式が JSONP なので､前後についている callback の書式を取り除いて､JSON ﾓｼﾞｭｰﾙでﾊﾟｰｽします｡
http://docs.ruby-lang.org/ja/2.1.0/class/JSON.html#M_PARSE

(2) 表示するﾍﾟｰｼﾞで､javascript を使って表示する

普通に JSONP に従って､callback で処理をします｡
現時点のﾃﾞｰﾀをｻｲﾄに表示するのが主目的であれば､こちらの方がお手軽です｡
ｻｲﾄが表示されなくても､ﾊﾞｯｸｸﾞﾗｳﾝﾄﾞでﾃﾞｰﾀを溜めておきたいのだ､ということであれば､(1) の方法しかありません｡


JSON[*].event が "mlb" なﾃﾞｰﾀを探し(二番目固定でも､とりあえず拾える)､
JSON[*].document.Date.Scores が対戦成績の配列です｡

(2) のﾊﾟﾀｰﾝ(しかも､やっつけ)ですが､jsFiddle で試してみました｡
http://jsfiddle.net/a_kuma3/y7U7g/

(1) のﾊﾟﾀｰﾝでやるにしても､JSON ﾃﾞｰﾀの構造についての理解の助けになると思います｡



あくまでも､技術的には､こうできる､という話で､Yahoo のｽｺｱﾎﾞｰﾄﾞのﾃﾞｰﾀを二次利用して良いのか､という部分については､別途確認した方が良いと思います｡