①錐面z^2=2xyと2つの平面x+y=1とz=0で囲まれた立体の体積を求めよ。
②x^2+y^2+z^2≦9と3x^2+3y^2-z^2-6z-9≦0で囲まれた立体の体積を求めよ。
参考書にある問題ですが、解説がなく、どうにも解けないです。分かる方いましたら、解き方だけで構いませんのでお願いします。
①について考え方だけ書きます。
この錐面は(110)方向を軸として、x軸、y軸を通ります。
したがって、(110)方向をα軸とすると、α軸に垂直な面(平面x+y=1に平行な面)を錐面が切り取る面積Aをα軸の方向に積分するのがやりやすい方法です。
面積Aは、原点からの距離aにより、
A=πa^2
です。平面z=0と囲まれたと言うのが、どちら側をさすのかわかりませんが、どちらにしてもAの1/2倍になりますので、
A/2=1/2*na^2 を原点から平面x+y=1まで、つまり0から1/√2まで積分すればよいです。
答えは、√2*π/24 でしょうか。
②はまた考えたらお答えしますね。
②について、簡単で済みませんが考え方を書きます。
半径3の球の内部と、(0,0,-3)を頂点とする錘との重なる部分の面積ですね。
両者が交差するのは、(0,0,-3)の点と、上記球面とz=1.5の面との交線です。
従って、
1.5≦z≦3までは球とzに垂直な面とが交わる円の面積でz方向に積分し、
両者を足し合わせれば良いと思います。