(1)サーバ側
ClientAliveInterval / ClientAliveCountMax や
TCPKeepAlive などの設定値を見直す必要があるかもしれません。
とりあえず60秒、カウント3回程度もあれば十分かと。
(2)クライアント側
poderosa のオプション設定で KeepAlive を送信するようにしておく。
こちらも、とりあえず60秒程度で。
ただし、スクリーンセイバーによっては
ログオフしてしまうものもあるようなので、接続中の省電力設定は
ディスプレイ電源OFF程度に留めておくのが良いかと思う。
(2)は通信の確保です。
プロセスが残ることによって
sshdがハングアップしているのだと仮定していたのですが
ハングアップというレベルではなく、サーバがダウンするのですか?
下記ページの下部 3.10 /3.11 も参照してみてください。
http://www.openssh.com/ja/faq.html