日本の携帯電話の使用では、ボタンを押さない状態での通信が許されている機種に限りがあります。
最新のDocomo端末ではFlashの場合ですが、ボタンを押すことなくサーバー通信が許可されています。
しかしデータ量がトータルで100KBを超える通信が行えません。毎秒でデータ通信を行った場合、数分で100KBを超えてしまうでしょう。
アプリでは容量や通信の制限が緩いので、アプリをお勧めします。
クリック証券では、モバトレ君が便利です。自動更新あり。グラフあり
クリック証券に口座を作らないと利用は出来ませんが、口座があれば、即座に取引を行うことが出来ます。
https://www.click-sec.com/corp/guide/kabu/mobatore/index.html
https://www.click-sec.com/corp/guide/kabu/mobatore/appli_fx.html
ドコモ(900系以上)・ソフトバンク(904SH以上)の機種から対応しているようです。