複素数の存在意義。
私は文系の人間なのですが、電気の勉強をすることになり数学の基礎からやりなおしているところです。
ところで、電気工学の中に複素数がでてくるのですが、なぜ複素数というものが必要なのでしょうか？
高校で習うレベルですと、いきなり二乗すると-1になるものみたいなレベルでの説明しかなく、どうして複素数という概念が必要なのかがよく分かりません。
高校時代は何も考えずに丸暗記していただけなのですが、この歳になって存在理由が知りたくなりました。
ベクトルは、力と方向があるものを単純化するときに便利なツールであるというある本に書かれてあって、なるほどと思ったのですが、複素数は何のためにそのような概念が必要になったのかが分からず、ただ丸暗記しています。
数学の道を志しているわけではないので、あまり高度な説明をされるとつらいのですが、簡単にその存在理由について教えて頂けないでしょうか？
宜しくお願いします。
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- 2009-11-26 12:36:26
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ちょっと今時間がないので簡潔に述べますと、"簡単のため"となります。
電気工学に現れる方程式はおそらくその多くが微分方程式でしょう。
例えば電磁波は、空間を伝播する電場と磁場の振動となりますが、この振動は三角関数
であらわされます。高校で習ったと思うのですが、cos、sinといったアレです。
三角関数を微分方程式に放り込むと、微分の項からは
cos -> -sin
sin -> cos
と変化するのでしたね。右辺と左辺で微分の回数が違うと両辺でsinとcosが入り乱れた式になり、
これでは計算が煩雑になります。
オイラーの式というのをご存じでしょうか。wikipediaにも載っていると思うのですが、これはe^{ix}=cos(x)+i*sin(x)という式で、ごらんの通り三角関数と虚数iの関係式です。cos、sinの代りに
e^{ix}を使ってやろうというのが、(少し雑な物言いですが)電気工学において複素数を導入する動機です。
cosはe^{ix}の実部 Re(e^{ix})と表せますから、e^{ix}を用いて計算を行い、最後に実数部分を考えれば
初めからcosを使って考えるのと同じことになります。それでは、どうしてe^{ix}を使うのか、といいますと、ここがみそで、微分したときに関数の形が変わらないからなのです。例えばe^{-iωt}を時刻tで微分すれば
e^{-iωt} -> -iωe^{-iωt}
となります。方程式が線形であれば、両辺からe^{-iωt}が約分できるために、ずいぶん簡単な式に
なりますよね。
もう一つの利点は、視覚的にイメージがしやすいことにあります。
例えば、ある複素数αがα=|α|*e^{iθ}と書けるとき、αをほかの量に掛ける操作は
複素平面上で角度θだけ回転する操作に相当します。このθのことを位相、と読んだりするのですが
複素数を用いれば位相は複素平面における回転を表すために、足し算を使って計算できたりします。
詳しい話には立ち入りませんが、最近ではわかりやすい教科書も出ていることと思います。
より詳しく知りたいことがあったら、手にとって開いてみるときっと感動しますよ。
高校数学がここまで役に立つのか・・・と。
皆さんからのメッセージを読ませて頂きました。
間違っているかもしれませんが、文系の私なりの理解を申し上げると、
電気という「見えない」ものを計算するために、方向と量を持ったベクトルというツールを使って「見える化」を行い、更にそれを計算しやすくするために虚数というツールを使ったというふうに理解しました。
そのように考えて参考書を見ると、確かに便利だなと思えてきます。
私の質問の7割くらいはこれで解決したのですが、どうしても疑問に残ることが一点あります。
想像上の数字である虚数が、実体を照明するツールとして使えることが不思議に思っています。
現実にあるものを計算する過程において式を立てて展開していく中に、現実にはない架空のものを挟むと、それ以降の論理展開(式の展開)も架空のものになってしまうのではないか、という漠然とした疑問です。
更にいいますと、i^2=-1ですが、虚数に虚数を掛けると実数になる、つまり空想のものに空想のものを掛け合わせると実在するものになる、という根本的な考え方がやはり不思議です。
計算過程はどうであれ、結果が正しいことはその他の方法で証明されているのだから、帰納的推論として虚数の考えは正しいということなのでしょうか。
もっと奥深いものがあるのだと思いますが、数学について浅薄な知識しか持たない人間がこれ以上深入りしても、正しい答えにはたどり着かないのかもしれません。
昔の著名な数学者が「虚数なんて名前にせず、実数を「横数」、虚数を「縦数」と名づければ良かった」と言っていたと思います。
虚数を考えることで、掛け算が、「長さをｎ倍にする」から「長さをｎ倍にしてさらに回転する」というイメージに変わりました。
X軸を実数、Y軸を虚数に取る複素平面上では、「－１をかける」＝「１８０度反転する」という意味になります。
２回かけて（回転して）１８０度になる数は９０度回転ですよね。
そのため、虚数(i)は実数軸に対して９０度回転したものになります。
１×ｉ＝ｉ（複素平面で９０度回転）
ｉ×ｉ＝－１（複素平面で９０度回転）
と２回かける（９０度回転する）と－１（１８０度回転）になるわけです。
その後「世界で一番美しい」といわれる式
e^(iπ)=-1
を導くオイラーの公式
ｅ(ｉθ)＝ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ
これは(x,y)=(ｃｏｓθ,ｓｉｎθ)という単位円を表しています。
交流信号は Asin(ωt+θ)で表されますが、
Aｅ(ｉ(wt+θ))という１つの複素数で表すことができるわけですね。
アナログの電気回路は基本微分積分でできています。（コンデンサーが微分、コイルが積分）
そのため、「複素数で交流を表しそれを微積分する」というのがアナログの基本になっています。
確か定電圧源、定電流源、とＣ（微分）とＬ（積分）とＲで全てスパイスでモデル化できるとか。
・・・で、微分積分を代数計算の手間でやる方法があって、･･･（以下略）
その関数の四則演算や、または微積分などの演算をまたしっかり定義した上で、
それらの定義を前提とした実数と複素数の"翻訳"をうまくやってやれば、論理的に何ら
おかしなことはやっていないんですよ。
一般道から高速に乗って、また一般道に降りるような。いや、この例えはポエムでしか
ないわけですが･･･。まあ、上でいう"翻訳"の部分が、虚数を用いても正しい答えを得ることの
保証になっているわけです。
虚数は存在しない数なのに…とはよく耳にしますが、「じゃあ実数は存在するの?」と
考えてみると、実はこれだって直観的にはよくわからないんですね。中学校からずっと
実数に慣れ親しんできたから、当たり前に実在すると思えるようになっただけです。
ここら辺を突き詰めてしまうと、泥沼の気がしますね。どうして自然は数学で記述できるのか、と。
僕は考えないようにしていますが、最後に一つだけ。数学が物理を記述するもっとも簡単な場合は
「リンゴが2個ある所にさらにリンゴ3個を付け足すと、全部でいくつでしょう？」といったものだと
思っています。まあ、またもやポエムなのですが。
数学史をみると無理数、ゼロ、負の数、虚数＆複素数、と方程式の解法にそって「数を拡張」してきたわけです。それが力学や電磁気学などなど自然科学でそれぞれ応用を見出しているのが史的な見方です。相対論では時間を第4次元軸としますが、これは形式的には「虚数×時間」と解釈できるそうです（4次元でのピタゴラス定理ですね）。
ただ、電磁気学においては「虚数」もしくは複素数表示は式の表示が単純化できる程度で、物理的には本質的なものではない（虚数がなくとも何とか扱える）と思います。
他方、量子力学以降になると虚数が本質的な役割をもつようになる気がします。素粒子の理論には不可欠だって感じですね（専門家ではないのであくまで感じがする程度）
つまり、自然界において虚数が実在し暗躍しているような気配なんですね。
小生としては、「不可思議」としか言いようがないです。
最後にWignerというノーベル賞学者の文言をひいておきます。
「自然科学における不可解なまでの数学の有効性」
http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html
虚数も負の数も同じですよ。
負の数は存在しませんが、負の数を考えると借金などの計算が楽になる。
以下を見れば判るように、昔は著名な数学者も「負の数なんて存在しない（負の数のリンゴを持つことはできないから）」「馬鹿げた数」と主張していました。
現在ではid:sakata0819さんも「負数が存在しないって何言ってるんだろう」と思うとでしょう。
負数は
１＋□＝０が解けるように考えられた数ですし
虚数は
□×□＝－１が解けるように考えられた数です
想像上の数字である点では「負数」も「虚数」も変わらないです。
id:sakata0819さんが負数を受け入れられるなら、そのうち虚数も受け入れられるようになると思います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E3%81%AE%E6%95%B0%E3%81%A8%E8%B2%A0%E3%81%AE%E6%95%B0
負の数の起源 [編集]
長い間、問題に対する負の解は「誤り」であると考えられていた。これは負の数を実世界で見つけることができなかったためである（たとえば、負の数のリンゴを持つことはできない）。その抽象概念は早ければ紀元前100年 – 紀元前50年には認識されていた。中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後7世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本』[1]は"+"を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。
プトレマイオス朝エジプトではディオファントスが3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 （解は負となる）と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負の数の概念がなかったことを示している。
7世紀の間に、負の数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』（628年）において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負の数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負の数とゼロがかかわる演算に関する規則も与えている。彼は正の数を「財産」、ゼロを「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ[2][3]。12世紀のインドで、バースカラも二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。
8世紀以降、イスラム世界はブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年ごろまでには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。
負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。
しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負の数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』（1202年）の第13章で負の数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負の数を表した。ヨーロッパ人の著書で負の数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負の数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。
イギリスの数学者フランシス・マセレス[2]は1759年、負の数は存在しないという結論に達した[4]。
負の数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負の数が無限大より大きいと信じており（この見解はジョン・ウォリスと共通である）、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった[5]。負の数が無限大より大きいという論拠は、\frac{1}{x} の商と、x が正の側から x = 0 の点に近づき、交差した時何が起きるかの考察によって生じている。
読みました。負数も受け入れられるまでに時間がかかったのですね。
> 負の数なんて存在しない(負の数のリンゴを持つことはできないから)
確かに、小学生くらいで、このような疑問を通過しますよね。
懐かしいです。
これは虚数を負数に置き換えると
「更にいいますと、(-1)×(-1) = 1ですが、負数に負数を掛けると実数になる、つまり空想のものに空想のものを掛け合わせると実在するものになる、という根本的な考え方がやはり不思議です。」
となるわけです。１７世紀の数学者もきっとそう考えていたと思いますよ。
負数が正数をマイナス軸方向に拡張したように、虚数は実数を平面に拡張しました。
虚数（複素数）は「平面数」と考えると良いです。
どれほど綺麗に拡張されているかというと
高校の頃やった三角関数の加法定理がありますが、
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/kahouteiri.html
sin( α±β )=sinαcosβ±cosαsinβ
cos( α±β )=cosαcosβ∓sinαsinβ
これは複素数を使うと覚える必要もなく自然に出てきます。
長さ１で角度がαの複素数（cosα+i×sinα）と
長さ１で角度がβの複素数（cosβ+i×sinβ）をかけて
長さ１で角度がγの複素数（cosγ+i×sinγ）になった場合
cosγ+i×sinγ=(cosα+i×sinα)×(cosβ+i×sinβ)
=cosαcosβ+(i)×(i)×sinαsinβ+sinαcosβ+cosαsinβ
=(cosαcosβ-sinαsinβ)+i×(sinαcosβ+cosαsinβ)
cosγ=cosαcosβ-sinαsinβ
sinγ=sinαcosβ+cosαsinβ
複素数の場合、掛け算は２つの複素数の角度の和になるので
γ＝α+β
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
と証明できます。