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【大学受験数学】次の数学の問題の解説をお願いします。

問題番号[A-7]
ある整数Aと24の最大公約数は8で、
最小公倍数は168である。
Aの値を求めよ。

【答え】56

問題番号[A-13]
身長1.6mの人が4mの高さの街灯の真下から
まっすぐに毎分60mの速さで遠ざかるとき
、この人の影の先端は毎分何mで遠ざかるか
求めよ。

【答え】100m

問題番号[A-22]
袋の中に白玉4個と赤玉2個が入っている。
まず、個の袋から無作為に玉を1個取りだし、
次に赤玉と白玉を1個ずつ袋に入れる。
そして、もう一度この袋から無作為に玉を
1個取りだしたとき、それが赤玉である
確立を求めよ（答えは分数で表わせ）。

【答え】8/21

問題番号[A-24]
画像 A-24.gif A-24.jpg

【答え】0.6

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MUJI2009/12/29 20:11:38
満足27pt

問題番号[A-7]

Aと24の最大公約数が8ということから, Aは「3と互いに素な数」を8に掛けた数(8, 16, 32, 40, 56, 64, 80, 88, ...)ということになります。一方、素因数分解により

$168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$

と言う事が分かりますが、Aは上に列挙したもののうち7を約数にもつものでないといけません。というわけで56となります。

問題番号[A-13]

単位時間（1分）が過ぎたときのことを考えましょう。このときの街灯-人の頭-陰の先端を斜辺とする2つの直角三角形を思い浮かべてください。この2つの三角形は相似となるはずです。

陰の先端から街灯の真下までの長さをxとします。相似比の関係から

1.6 : 4 = (x-60) : x

という式が成り立ち、x=100が求まって100m/min が答えとなります。

問題番号[A-22]

最初に取り出す玉の色により場合分けをします。

i) 最初に白玉を取り出した場合

まず最初に白玉を取り出す確率は4/6 (=2/3)です。

この後白玉4個、赤玉3個の中から選ぶことになるので、赤玉が選ばれるのは 3/7 ですが、

「最初に白玉が選ばれ、かつその後の試行で赤玉が選ばれる」のは

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{7}$

ということになります。

ii) 最初に赤玉を取り出した場合

同様に、白5個, 赤2個の中から選ぶことになるので

$\frac{1}{3} \times \frac{2}{7}$

i), ii) の2つの場合は同時には起こらないので加法定理により, 8/21 が答えとして求まります。

問題番号[A-24]

一般にn進数においては、数は

$\sum_{i} a_i n^i, \quad 0 \le a_i \le n-1$

の形で表されます。ここでは8進数なので係数は0-7ということになり、8以上の数字が出たら桁の繰り上げが発生します。桁の繰り上げ以外は通常の10進数と同じように計算できます（ちなみにコンピュータの世界では16進数がよく用いられますが、これは10進数でいう0-15を0-9とA-Fによって表します）。例えば10進数の12は $1 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ ですが、 $1 \times 8^1 + 4 \times 8^0$ とも書けるので、8進数では14となります。画像の表の3×4や2×6のところを参照してもらえれば分かるかと思います。

問題の分数は、画像に有るように筆算をして0.6と求まります。

(6×4は30, 6×3は22なので, 30 + 220で250になります)。

スター

suppadv2009/12/29 20:49:22
満足27pt

ある整数Aと24の最大公約数は8で、

最小公倍数は168である。

Aの値を求めよ。

168＝3*7*8

8が共通で、3と7が別にあるので、3*8が24で残りの7*8の56が答え

問題番号[A-13]

身長1.6mの人が4mの高さの街灯の真下から

まっすぐに毎分60mの速さで遠ざかるとき

、この人の影の先端は毎分何mで遠ざかるか

求めよ。

高さ4ｍの地点から、2.4m低いところの速さが毎分60m

先端は、4m低いので、比を使って、

2.4：60＝4：ｘ

で100m

問題番号[A-22]

袋の中に白玉4個と赤玉2個が入っている。

まず、個の袋から無作為に玉を1個取りだし、

次に赤玉と白玉を1個ずつ袋に入れる。

そして、もう一度この袋から無作為に玉を

1個取りだしたとき、それが赤玉である

確立を求めよ（答えは分数で表わせ）。

次に赤玉と白玉を1個ずつ袋に入れた時は

確率1/3で、白5赤2

確率2/3で、白4赤3

赤が出る確率は、

1/3*2/7+2/3*3/7で、8/21

最後の問題をやろうとすると、回答が全て消えてしまうので、やめました。

スター

rsc2009/12/29 20:51:03
満足26pt

■問題番号[A-7]

最大公約数をG、最小公倍数をLとすると、

　24A＝G・L＝(8)(168)

∴A＝8*168/24＝168/3＝56

※参考URL

●最大公約数と最小公倍数

○　２数 A , B の最大公約数を G 最小公倍数を L とおくと，

　AB=GL

が成り立つ．

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/m3gcm1.htm

■問題番号[A-13]

　ｔ分後の影の先端の位置の街灯の真下の位置からの距離をｘｍとして、ｘを時間ｔの関数で表して、これをｔで微分して速さｖを求める方針。ｔ分後の人の位置は、60ｔだから、参考図の相似比より、

ｘ：(ｘ-60ｔ)＝4：1.6

∴4(x-60t)=1.6x

∴2.4ｘ＝240ｔ

∴ｘ＝(2400/24)t=100t

　これをｔで微分して、

　ｖ＝dx/dt=(100t)'=100[m/分]

※参考図

http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20091229204641

■問題番号[A-22]

　(赤玉の個数)/(全個数)で求めたいが、1回目赤が出るか白が出るかで、2回目とるときの赤の個数が変わるので、次のように場合分けして和事象の確率を求める。

　1回目取り出した玉が赤で、2回目取り出した玉が赤の確率は、

{2/(4+2)}*{(2-1+1)/(4+2-1+2)}=(1/3)*(2/7)=2/21・・・①

　1回目取り出した玉が白で、2回目取り出した玉が赤の確率は、

{4/(4+2)}*{(2+1)/(4+2-1+2)}=(2/3)*(3/7)=6/21・・・②

①＋②より、

2/21+6/21＝8/21

■問題番号[A-24]

　すみません。これは、分かりませんでした。(^_^;?

　他の方に期待します。

スター

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登録日時: 2009-12-29 16:58:18
終了日時: 2010-01-05 17:00:02
回答条件: 1人2回まで

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