企業として請け負った証拠があるので、個人が請け負うことは出来ません。
個人名が記載されていても、会社員として記載されているだけなので、会社の契約です。
契約が破棄されて、個人が請け負ったのなら、会社が損害を受けていますので、損害賠償を請求できます。
>田中がその仕事を持っていく権利を持っていけるんじゃないか
ありません。
退社して同業で会社時代の顧客を引っ張ったりすることは、違法になる可能性もあり(大きな損害で会社が倒産するようなことが明らかにわかっている場合は違法です)、退社時にそのようなことをしないという念書を取ることが多いようです。(影響の小さいときはもめることの損害の方が大きくなるので、微妙です。)
注文書を受けて請書を返したということは、発注元と「はてな商事」(=長田さん)の間に、民法で言うところの「契約」が成立した状態になっています。この契約をAと称することにします。
「はてな商事」に属さない田中さんに、この仕事を受けさせるためには、2つの方法が考えられます。
長田さんは2番目の方法を嫌っていますし、受け側である「はてな商事」の都合で契約解除することは困難でしょうから、1番目の方法が妥当だと思います。
この場合、契約Aの覚え書きとして、担当者である田中さんの名前を新しい担当者の方に変更することを明記しておけば万全です。