数学の問題ですが、教えてください。
宜しくお願いします。
原点Aを１つの頂点とする△ABCがある。辺ACはx軸上に、頂点Bは第1象限内にあり、AB＝4、AC＝５、BC＝３である。
この三角形を原点のまわりに、正の向きに2/3π回転するとき、回転後の点Bの座標を求めよ。
ベストアンサー
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showyou
満足100pt
合ってるかどうかわかりませんが。
まず、AB=4,AC=5,BC=3で4^2+3^2=5^2より△ABCは直角三角形であることがわかります。
点Bから辺ACに向かって垂線を引きそこを点Dとした場合、
△ABCと△BCDにおいて
- ∠BACと∠BADは等しい(同じ∠Aですし)
- ∠ABCと∠ADBも直角で等しい
以上から△ABCと△BADは相似であると言えます。
相似であれば対応する辺の比は等しくなるので、辺AC:辺AB=辺AB:辺AD
よって辺AD=16/5ということがわかります。
同様に辺BD=12/5です。
つまりBの座標は(16/5, 12/5)であります。
ここでBADの角度をθとした場合、sinθ = 縦/斜辺, cosθ = 横/斜辺ですので、
cosθ= 16/5 / 4 = 4/5, sinθ = 12/5 / 4 = 3/5となります。
さらにcos, sinの加法定理
sin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα
cos(α+β) = cosαcosβ-sinβsinα
に当てはめていきます。
sin(2/3π) = √3/2, cos(2/3π) = -1/2ですので、
sin(θ+2/3 π)= sinθcos2/3π + sin2/3πcosθ = 3/5 * (-1/2) + √3/2 * 4/5 = (4√3-3) / 10
cos(θ+2/3 π)= cosθcos2/3π - sinθsin2/3π = 4/5 * (-1/2) - 3/5 * √3/2 = (-4-3√3) / 10
とでます。
回転しても斜辺は相変わらず4のままですので、回転後の点Bの座標を(Bx, By)とすると
Bx = 4*cos(θ+2/3 π) = (-8-6√3)/5
By = 4*sin(θ+2/3 π) = (8√3-6)/5
となるかと思います。
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質問の情報
- 登録日時
- 2010-04-18 21:18:02
- 終了日時
- 2010-04-18 22:28:46
- 回答条件
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